¿Si el polinomio con el número racional es inyectiva en racionales entonces es inyectiva en reales?

Question

Que $p:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es polinómica con coeficientes racionales. ¿Si restricción de $p$ $\Bbb{Q}$ es inyectiva, entonces es inyectiva $p$?

Yo conjeturó que $p$ es monótono, pero no sé cómo demostrar esta conjetura. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Responder a este CW, mediante la ingeniosa técnica de Hailong Dao en el MO, señaló David Speyer en el comentario anterior. Tenemos $$f(x) = x^3 - 2 x.$$ Now, if we have distinct rational $x,y$ such that $$f(x) = f(y),$$ we have $x - y \neq 0$ y $$x^2 + x y + y^2 = 2.$$ We can then take a positive integer $t$ as the least common multiple of the denominators of $x,y,$ por lo que $$u = t x, \; \; v = t y$$ son números enteros y $$\gcd(u,v) = 1.$$ A continuación, $$u^2 + u v + v^2 = 2 t^2.$$ Sin embargo, $u^2 + u v + v^2$ es anisotrópico en el 2-ádico números. Que es, ya que el resultado es aún, se sigue que $u,v$ son ambos inclusive (¡Inténtelo!). Esto contradice $\gcd(u,v) = 1.$, por Lo que, en realidad, $x=y.$

Yo no tenía idea de que estaba relacionado con la formas cuadráticas de esta sencilla manera. El número 2 puede ser reemplazado por cualquier prime $q \equiv 2 \pmod 3.$, $$ x^3 - 2 x, \; \; x^3 - 5 x, \; \; x^3 - 11 x, \; \; x^3 - 17 x, \; \; x^3 - 23 x, \; \; x^3 - 29 x, \; \; x^3 - 41 x son todos inyectiva en los racionales.

El modo más familiar, es decir, símbolo de Legendre $(2|3) = -1.$

Tenga en cuenta que $u^2 + u v + v^2$ es uno de Pete L. Clark ADC formas, porque es uno de sus Euclidiana formas. Es decir, $u^2 + u v + v^2$ representa un número entero $n$ sobre los racionales si y sólo si representa a $n$ respecto de los enteros. Si la comprobación de esta propiedad para algunos $n,$ tenga en cuenta que también es necesario comprobar $u,v$ con signos opuestos así, para estar seguro.