Cónica con sólo dos puntos reales

Question

Estoy tratando de pensar en un ejemplo de un irreducible cónicas en el plano proyectivo sobre los números complejos tales que tiene sólo dos puntos reales y estoy teniendo dificultad para crear uno. ¿Es esto posible?

Answer 1

El enfoque descrito en el apartado de comentarios debería funcionar, sin embargo aquí es una sencilla prueba, basado en dos lemas que lo voy a dejar como un ejercicio :-)

1) Vamos a $C$ ser un complejo de la curva proyectiva. Si $p \in \Bbb RP^2$ es un punto aislado de a$\Bbb R(C)$, $p$ es un punto singular de $C$.

2) Una reducción de la curva cónica tiene más de un solo punto singular.

Comentario : Nos damos cuenta de que una cónica es irreducible si y sólo si es liso. Esto significa que, en su caso, usted no puede incluso encontrar una suave complejo cónica con un único punto real. Todos los cónicos con un único punto real tiene una ecuación de $\ell \overline{\ell} = 0$ para algunos complejos (con al menos un no-real coeficiente de forma lineal $\ell$, e $p = \ell \cap \overline{\ell}$.

Answer 2

Un irreductible (= suave) cónica es racional sobre un campo $k$ si y sólo si tiene un punto racional $k$. (Prueba: una dirección es evidente. De lo contrario, utilizar la proyección estereográfica.)

Por lo tanto, el conjunto de $\mathbf R$ puntos de una cónica lisa $\mathbf R$ es vacío o infinito.