$H$ es a subgrupo normal de $G$iff $gHg^{-1}=H$ cada $g$ $G$

Question

Dada la siguiente definición de subgrupo normal

Un subgrupo $H$ de un grupo de $G$ se dice normal si, para cada $g\in G$: $$gH=Hg$$

He tratado de mostrar que el $H\mathrel{\unlhd} G$ si y sólo si tenemos $gHg^{-1}=H$ por cada $g\in G$:

(si) Vamos a $H\mathrel{\unlhd} G$, $g\in G$; si $l\in gHg^{-1}$ existe $h\in H$ tal que $l=ghg^{-1}$ y ya $gh$ = $h'g$ para algunos $h'\in H$,$l=ghg^{-1}=h'(gg^{-1}) = h'\in H$. Deje $h\in H$; podemos escribir $h$$hgg^{-1}$, y desde $hg = gh'$ algunos $h'\in H$, obtenemos $h = hgg^{-1} = gh'g^{-1}\in ghg^{-1}$. Por lo $gHg^{-1}=H$.

(sólo si) Vamos a $gHg^{-1}=H$, $g\in G$; si tomamos una $l\in Hg$, $l = hg$ para algunos $h\in H$, se nota de inmediato que $l=hg=(gh'g^{-1})g=gh'\in gH$. ¿Qué debo hacer para demostrar que $gH\subset Hg$?

También me pregunto si este lío es correcta, y si es posible un más elegante de la prueba de este hecho.

Answer 1

Creo que una prueba más elegante es posible.

Claramente $gHg^{-1}=H\iff gHg^{-1}g=Hg\iff gHe=Hg\iff gH=Hg, \forall g\in G$, simplemente multiplicando por $g$ a la derecha (y simplificando $g^{-1}g=e$ y $He=H$).

Answer 2

Han demostrado que $Hg\subseteq gH$. Uno podría decir "por simetría" en la otra dirección lleva a cabo, o simplemente probarlo directamente, utilizando básicamente el mismo argumento:

Que $m\in gH$ ser arbitraria. Entonces $m=gh$ $h\in H$. Ahora $mg^{-1}=ghg^{-1}=h'$, $h'\in H$. Por lo tanto, $m=h'g$, que $m\in Hg$. Esto demuestra que $gH\subseteq Hg$.