La respuesta a la pregunta 1 es afirmativa. Para ver esto, vamos a $\beta=\{e_1,\ldots,e_n\}$ ser una base ortogonal para $V$ y
$$Cl(V,q)=C_0\oplus\cdots\oplus C_n$$
sea el espacio vectorial de calificación con respecto a esta base.
Ahora, vamos a $\gamma=\{v_1,\ldots,v_n\}$ ser cualquier base ortogonal para $V$, e $A=(a_{ij})$ ser la matriz de transición
$$v_j=\sum_ia_{ij}e_i.$$
Es suficiente para demostrar que, para $i_1<\cdots<i_k$, $v_{i_1}\cdots v_{i_k}\subset C_k\backslash\{0\}$, ya que por la dimensión de las consideraciones
$$\mathrm{span}\{v_{i_1}\cdots v_{i_k}\mid i_1<\cdots<i_k\}=C_k.$$
De hecho, se puede demostrar por inducción que
$$
v_{i_1}\cdots v_{i_k}=\sum_{r_1<r_2<\cdots<r_k}\left(\sum_{\sigma\en S_k}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{r_1i_{\sigma(1)}}a_{r_2i_{\sigma(2)}}\cdots a_{r_ki_{\sigma(k)}}\right)e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_k}.
$$
Voy a trabajar de la $k=2$ caso: Observar que, para $i<j$,
$$v_iv_j=\left(\sum_k a_{ki}e_k\right)\left(\sum_\ell a_{\ell j}e_\ell\right)
=\underbrace{\sum_k a_{ki}a_{kj}e_k^2}_{\en C_0} \;+\; \underbrace{\sum_{k<\ell}(a_{ki}a_{\ell j}-a_{kj}a_{\ell i})e_k e_\ell}_{\en C_2}.$$
No hay ningún grado 1 componente en el lado derecho de esta ecuación, mientras que el grado 0 componente es
$$
\sum_k a_{k i}a_{k j} e_k^2=\sum_k a_{k i}a_{k j}p(e_k)=\langle v_i,v_j\rangle=0.
$$
Desde $v_iv_j\neq 0$,$v_iv_j\in C_2$.
EDITAR:
La prueba no es demasiado difícil, pero yo era un poco perezoso para componer ayer.
Asumir la fórmula para $v_{i_1}\cdots v_{i_k}$ mantiene por inducción y reescribir $$v_{i_1}\cdots v_{i_k}=\sum_{\substack{r_1,\ldots,r_k\\r_i\neq r_j\;\forall i\neq j}}a_{r_1 i_1}a_{r_2 i_2}\cdots a_{r_k i_k}e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_k}.$$
A continuación,
\begin{align}
v_{i_1}\cdots v_{i_k}v_j=&\left(\sum_{\substack{r_1,\ldots,r_k\\r_i\neq r_j,\;\forall i\neq j}}a_{r_1 i_1}a_{r_2 i_2}\cdots a_{r_k i_k}e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_k}\right)\left(\sum_s a_{sj}e_s\right)\\
=&\sum_{t=0}^{k-1}(-1)^{k-t}\sum_s a_{s i_t}a_{sj}q(e_s)\sum_{\substack{r_1,\ldots,\widehat{r_t},\ldots,r_k\\r_i\neq r_j,\;\forall i\neq j\\r_i\neq s,\;\forall i\neq t}}a_{r_1 i_1}a_{r_2 i_2}\cdots \widehat{a_{r_t i_t}}\cdots a_{r_k i_k}e_{r_1}e_{r_2}\cdots \widehat{e_{r_t}}\cdots e_{r_k}\\
&+\sum_{\substack{r_1,\ldots,r_k,s\\r_i\neq r_j,\;\forall i\neq j\\r_i\neq s,\;\forall i}}a_{r_1 i_1}a_{r_2 i_2}\cdots a_{r_k i_k}a_{sj}e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_k}e_s
\end{align}
donde el sombrero significa omitir el término de el/los producto / suma. Como en el grado 2 caso
$$
\sum_s a_{s i_t}a_{sj}p(e_s)=\langle v_{i_t}, v_j\rangle=0
$$
así, la configuración de $j=i_{k+1}$ $s=r_{k+1}$
\begin{align}
v_{i_1}\cdots v_{i_k}v_{i_{k+1}}=&\sum_{\substack{r_1,\ldots,r_k,r_{k+1}\\r_i\neq r_j,\;\forall i\neq j}}a_{r_1 i_1}a_{r_2 i_2}\cdots a_{r_k i_k}a_{r_{k+1}j}e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_k}e_{r_{k+1}}\\
=&\sum_{r_1<r_2<\cdots<r_{k+1}}\left(\sum_{\sigma\in S_{k+1}}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{r_1i_{\sigma(1)}}a_{r_2i_{\sigma(2)}}\cdots a_{r_{k+1}i_{\sigma(k+1)}}\right)e_{r_1}e_{r_2}\cdots e_{r_{k+1}}.
\end{align}
