como se calcula

Question

$$\int \frac{x}{x^2-x+1}\, dx = \int \frac{x}{(x-\frac 1 2)^{2} + \frac 3 4}\, dx = \int \frac{x}{(x-\frac 1 2)^2 + (\frac {\sqrt{3}} {2})^2}$$

Sustituto de $u= \frac{2x-1}{\sqrt{3}}, du=\frac{2}{\sqrt{3}}dx$:

$$\frac {\sqrt{3}} 2 \int \frac{\frac{\sqrt{3}} {2}u + \frac 1 2}{(\frac{\sqrt{3}}{2}u)^2+(\frac {\sqrt{3}}{2})^2} = \int \frac{u}{u^2+1}du + \frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac 1 {u^2+1}du.$$

Esto da a $$\frac 1 2\log({u^2+1})+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{u}.$ $ Substituting en x rendimientos $$\frac 1 2\log(\frac 4 3x^2-\frac 4 3 x+ \frac 4 3)+\frac 1 {\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$ $

Sin embargo, según Wolfram Alpha, la integral debe evaluar a $$\frac 1 2 \log(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$$After trabajando algún tiempo en el integral, sé cómo llegar a esta solución, pero no entiendo por qué mi primer intento no llega a la respuesta correcta. ¿Ves donde salió mal?

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Hola y bienvenidos a math.stackexchange. La solución que usted desarrolló y la dada por Wolfram Alpha solo difieren por una constante (de integración), ya que
$$ \ frac 1 2 \ log (\ frac 4 3x ^ 2- \ frac 4 3 x + \ frac 4 3) = \ frac 1 2 \ log (x ^ 2- x + 1) + \ frac 1 2 \ log \ frac 4 3 \,. $$

Answer 2

Ambas respuestas son correctas. Ha olvidado agregar las constantes de integración en las soluciones.

La primera solución$\dfrac 12 \ln \left(\dfrac 43 x^2 -\dfrac 43 x +\dfrac 43\right) +\dfrac{1}{\sqrt 3}\arctan \left(\dfrac{2x-1}{\sqrt 3}\right) + C$ se puede escribir como$\dfrac 12 \ln \left( x^2 - x +1\right)+\dfrac{1}{2} \ln \left(\dfrac 43\right)+\dfrac{1}{\sqrt 3}\arctan \left(\dfrac{2x-1}{\sqrt 3}\right) + C$ que es igual a$\dfrac 12 \ln \left( x^2 - x +1\right)+\dfrac{1}{\sqrt 3}\arctan \left(\dfrac{2x-1}{\sqrt 3}\right) + C'$.

Entonces, esto es básicamente eso. Ambas respuestas son correctas. Solo sus constantes de integración son diferentes.

Answer 3

$$\frac 1 2\log(\frac 4 3x^2-\frac 4 3 x+ \frac 4 3)+C$ $ Puede escribirse como$$\frac 1 2 \log (\frac 4 3) +\frac 1 2\log( x^2-x+ 1)+C $ $

Donde se puede agregar el primer término a la constante$$\frac 1 2 \log (\frac 4 3) +C $$ write it as new constant $ C_1 $