Tipo de homotopía del complemento de un subespacio

Question

He estado tratando de probar o refutar la siguiente declaración:

Deje $A$ $B$ dos subespacios de $\mathbb{R}^2$ con respecto a la topología Euclidiana. Si $A$ $B$ tienen el mismo homotopy tipo, $\mathbb{R}^2 \setminus A$ $\mathbb{R}^2 \setminus B$ tienen el mismo homotopy tipo.

Creo que la afirmación es falsa. Vamos a considerar un subespacio $A$ que consta de un solo punto y un subespacio $B$ que consta de una sola línea. Los subespacios $A$ $B$ tienen el mismo homotopy tipo, ya que una línea es un conjunto convexo, por lo que es contráctiles. Pero los subespacios $\mathbb{R}^2 \setminus A$ $\mathbb{R}^2 \setminus B$ no tienen el mismo homotopy tipo, ya que la primera de ellas es la ruta de acceso conectado y el segundo no.

Es esto correcto?

Answer 1

Es, de hecho, no es cierto para arbitrario $A,B$. Aún más simple contraejemplo es $A = \{ 0 \}$, $B = \mathbb{R}^2$.

Sin embargo, si nos restringimos a plano continua (= compactos conectado subespacios de $\mathbb{R}^2$), luego está el siguiente complemento teorema:

Dos planos continuos, tienen la misma forma si y sólo si sus complementos en $\mathbb{R}^2$ son homeomórficos.

Este fue esencialmente demostrado por Karol Borsuk en su papel

"Sobre homotopy propiedades de compacta." Fundamenta Mathematicae 62.3 (1968): 223-254.

(Ver también Sher, Richard B. "el Complemento teoremas en forma de teoría." Teoría de forma y topología geométrica. Springer, Berlín, Heidelberg, 1981. 150-168.)

En este trabajo Borsuk introdujo el concepto de forma compacto para espacios métricos. Esta es una clasificación más amplia que homotopy tipo y de acuerdo con eso de "bonito" de los espacios como de los poliedros, CW-complejos y ANRs. Por ejemplo, el cierre de la topologist de la curva sinusoidal tiene la forma de un punto, pero no es homotopy equivalente a un punto. Hay countably muchas formas de avión continuos, los cuales están representados por el finito cuñas $W_n$ $n$ círculos (donde entendemos $W_0$ = a un punto en el espacio) y el Hawaiano pendiente $W_\infty$.

Si alguien debe estar interesado en el concepto de forma, recomiendo echar un vistazo en

Mardešic, Sibe, y Jack Segal. Teoría de forma: a la inversa del sistema de enfoque. Vol. 26. Elsevier, 1982.

Tenga en cuenta que ambas condiciones (compacidad y conexión) son esenciales. Si tenemos en cuenta cerrado $A, B \subset \mathbb{R}^2$, luego nos dio contraejemplos en los que $A,B$ están conectados. Considerar el siguiente $A = S^1 \cup \{ (0,0) \}$, $B = S^1 \cup \{ (0,2) \}$. Estos son homeomórficos compacto subpolyhedra de $\mathbb{R}^2$. El complemento de $A$ se compone de dos anillos, el complemento de a $B$ de un disco abierto y un pinchazo en un abrir anillo.

Permítanme por último comentario que complementa de avión continua son homeomórficos si y sólo si tienen el mismo homotopy tipo. Esto es cierto debido a que se desprende de los hechos anteriores que complementa de avión continua tiene un número finito o countably muchos componentes, uno de ellos es ilimitado y homeomórficos a un anillo, todos los demás están delimitadas y homeomórficos a un disco abierto.