La relación de satisfacción es indefinible, pero aún "existe"?

Question

En Jech del libro "Teoría de conjuntos", en el capítulo 13, nos muestra cómo la satisfacción de la relación de $\models_{n}$ $\Sigma_n$ fórmulas puede ser formalizado en ZF. Como se señaló anteriormente, la plena satisfacción de la relación no puede ser formalizado en el primer fin de lenguaje de ZF.

Comencé a pensar acerca de lo que va mal en el intento de definir la unión a lo largo de $n\in\omega$ estos $n$de satisfacción en las relaciones. Puede alguien arrojar algo de luz sobre si es o no una de las siguientes opciones es la correcta, o si simplemente estoy perdiendo algo más?

Opción 1: El problema con la definición de la unión es que estos son clases, y uno no puede tomar una infinita unión de las clases, en general, ya que no hay (de primer orden) de la fórmula que describe su unión.

Sin embargo, a mí me parece que la colección de sentencias en $Form$ de la complejidad de la $\Sigma_n$ que satisfacer $\models_n$ forma parte de un conjunto. Tomar una contables de la unión de conjuntos es ningún problema. Así que estoy pensando que la opción 1 no es bastante el panorama.

Opción 2: Cuando decimos que $\models_n$ es formalizable, el $n$ es un meta-lenguaje-número natural. Así que no hay manera de "recoger" las clases a lo largo de estos meta-naturales.

Opción 3: Hay alguna manera de formar el sindicato, en una forma definible en ZF [que no veo], sino $V$ no ve [desde su punto de vista] esta unión como la formación de una satisfacción de la relación.

Cualquier explicación sobre estos temas se agradece.

Answer 1

La opción 2 es exactamente lo que está pasando. Para cada meta-lenguaje natural de número de $n$, podemos escribir una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que formaliza $\vDash_n$. Sin embargo, no podemos definir una función en $\mathbb{N}$ que se lleva a $n$ a esta relación $\vDash_n$ todos los $n$ a la vez.

Esto está relacionado con la Opción 1. Tenga en cuenta que si se tratase de la satisfacción en la relación (en el lenguaje de la $\in$) en algunos set $U$, podríamos definir el $\vDash_n$ por la recursividad en $n$ (o más, naturalmente, podríamos definir el $\vDash$ en todas las fórmulas de recursión sobre la complejidad de la fórmula). De hecho, esto es exactamente lo que hacemos en el modelo ordinario de la teoría, a la hora de definir la satisfacción de la relación de algunos de primer orden de la estructura (cuyo conjunto subyacente es realmente un conjunto). Pero una definición recursiva implica la cuantificación en los primeros segmentos de la recursividad, así que esto no funciona para $V$, ya que el $\vDash_n$ es una clase y no un conjunto en ese caso, y no podemos cuantificar las clases. Tenga en cuenta que mientras que sólo hay un conjunto si nos restringimos a las sentencias, necesitamos definir la satisfacción de las fórmulas con variables libres (para una determinada asignación de valores a las variables) con el fin de definir la satisfacción de las sentencias. Por ejemplo, para decir si $\forall x\varphi(x)$ es cierto, necesitamos saber si $\varphi(a)$ es cierto para cada una de las $a\in V$.