Demuestre que$\mathbb{Z}_2 \otimes_\mathbb{Z}$ no es exacto.

Question

Demostrar que $\mathbb{Z}_2 \otimes_\mathbb{Z}$ no es exacto.

Estoy tratando de encontrar una secuencia exacta de tal forma que si aplicamos el functor de arriba no obtenemos una secuencia exacta. Se sabe que el functor de arriba es exacto por la derecha así que estoy tratando de demostrar que el primer mapa no mantener la inyectividad. Tomé la siguiente secuencia:

$$0 \longrightarrow 3\mathbb{Z} \longrightarrow 6\mathbb{Z} \longrightarrow 0 \longrightarrow 0$$

donde $f: 3\mathbb{Z} \rightarrow 6\mathbb{Z}$ está dado por $f(z) = 2z$. Claramente esta es una breve secuencia exacta. Ahora bien, si nos fijamos en el mapa:

$$ f_* : \mathbb{Z}_2 \otimes_\mathbb{Z} 3\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}_2 \otimes_\mathbb{Z}6\mathbb{Z} $$

es el cero mapa debido a que el producto tensor de la derecha es nulo. Pero el tensor de la izquierda no es null así que esto significa que $ker (f_*) \neq {0}$ $f_*$ no es inyectiva.

Quiero preguntar si esta solución es correcta o hice algo estúpido. Alguien puede comprobar y si hay un mejor ejemplo de proporcionar por favor?

Gracias de antemano.

Answer 1

No creo que su ejemplo es un ejemplo: su mapa de $f$ es una iso de abelian grupos, por lo $f_*$ es así. Esto se deduce del hecho de que $\mathbb{Z}_2 \otimes_{\mathbb{Z}}-$ es un functor, por lo que respeta isos.

Por otra parte, porque tensoring respeta isos, y cada uno de sus grupos de $3\mathbb{Z}$ $6\mathbb{Z}$ son infinitas cíclica (de ahí iso para cada uno de los otros), su tensor de productos son iso: no se puede tener uno nulo y el otro no.

El ejemplo común de esto es considerar la secuencia canónica $$ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2 \a 0 $$ el que "crea" $\mathbb{Z_2}$ como el cociente $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Así, la segunda flecha es la multiplicación por $2$, y el tercero es el cociente mapa. Aplicar su functor $\mathbb{Z}_2 \otimes_{\mathbb{Z}}-$ y el uso de la costumbre isos para obtener $$ 0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 \a 0 $$ que NUNCA va a ser corto exacto, no importa los mapas (para contar/cociente de razones).