Ayuda para resolver el problema de las transformadas de Laplace de conducción de calor del libro de texto

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

$$\dfrac{\partial{\phi}}{\partial{t}} = \dfrac{\partial^2{\phi}}{\partial{x}^2} - \cos(x), \ x > 0, t > 0$$

$$\phi(x, 0) = 0, \ x > 0$$

$$\phi(0, t) = e^{-t}, \ t > 0$$

Tomando la transformada de Laplace (en $t$ por supuesto) da

$$\mathcal{L} \left\{ \dfrac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \right\} = \mathcal{L} \left\{ \dfrac{\partial^2{\phi}}{\partial{x}^2} - \cos(x) \right\}$$

$$\therefore s \mathcal{L}\{\phi\} - \phi(0) = \dfrac{d^2 \mathcal{L} \{ \phi \}}{dx^2} - \dfrac{\cos(x)}{s}$$

Y como $\phi(x, 0) = 0$ tenemos

$$s \mathcal{L} \{ \phi \} = \dfrac{d^2 \mathcal{L} \{ \phi \}}{dx^2} - \dfrac{\cos(x)}{s}$$

Se trata de una EDO con coeficientes constantes.

A partir de ahora, dejemos que $\mathcal{L}\{ \phi \} = \bar{\phi}$ (en aras de la concisión).

Así que nuestra EDO de coeficiente constante es

$$\dfrac{d^2 \bar{\phi}}{dx^2} - s \bar{\phi} = \dfrac{\cos(x)}{s}$$

Se trata de una EDO inhomogénea y, a juzgar por el término inhomogéneo $\dfrac{\cos(x)}{s}$ se puede resolver mediante el método de los coeficientes indeterminados.

La versión homogénea de la EDO es

$$\dfrac{d^2 \bar{\phi}}{dx^2} - s \bar{\phi} = 0$$

El polinomio característico es

$$m^2 - s = 0$$

$$\therefore m = \pm \sqrt{s}$$

Por lo tanto, la ecuación complementaria para esta EDO no homogénea es

$$y_c(x) = Ae^{x\sqrt{s}} + Be^{-x\sqrt{s}}$$

Y nuestra solución particular para esta EDO no homogénea es

$$y_p(x) = -\dfrac{1}{s^2 - s} \cos(x)$$

Por lo tanto, nuestra solución a la EDO no homogénea es

$$y(x) = Ae^{x\sqrt{s}} + Be^{-x\sqrt{s}} - \dfrac{1}{s^2 - s} \cos(x)$$

Por lo tanto, tenemos que

$$\bar{\phi}(x, s) = Ae^{x\sqrt{s}} + Be^{-x\sqrt{s}} - \dfrac{1}{s^2 - s} \cos(x)$$

Aquí es donde estoy perplejo.

SIN EMBARGO, una forma de proceder que he visto en otros problemas es asumiendo otra condición de contorno:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \phi(x, t) = 0$$

Esto tiene sentido desde el punto de vista físico, pero no se especificó en el enunciado del problema, por lo que no estoy seguro de que sea válido que lo utilice?

Además, no tengo soluciones completas para estos problemas, así que no tengo forma de comprobar los pasos intermedios.

La solución final debe ser

$$\phi(x, t) = \text{erfc}\left( \dfrac{x}{2\sqrt{t}} \right) - \cos(1 - e^{-t})$$

Agradecería mucho si la gente pudiera ayudarme a resolver este problema.

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EDIT: Si procedemos a asumir la condición de contorno extra (es decir, si procedemos a asumir que $\lim\limits_{x \to \infty} \phi(x, t) = 0$ ), entonces continuamos desde arriba como sigue:

Ahora bien, como $\lim\limits_{x \to \infty} \phi(x, t) = 0$ tenemos que $Ae^{-x \sqrt{s}} = \dfrac{A}{e^{x \sqrt{s}}} \to 0$ como $x \to \infty$ y $- \dfrac{1}{s^2 - s} \cos(x)$ no existe como $x \to \infty$ ya que $\cos(x)$ no convergerá.

¿Y qué hacemos a partir de aquí? Parece que el $- \dfrac{1}{s^2 - s} \cos(x)$ ¿el término nos está causando problemas?

IGNORAR TODO LO QUE ESTÁ POR DEBAJO DE ESTE PUNTO

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$$\bar{\phi}(x, s) = \int_0^\infty \phi(x, t) e^{-st} \ dt,$$

tenemos que $\bar{\phi}(x, s) \to 0$ como $x \to \infty$ y por lo tanto $B = 0$ ya que $Ae^{-x \sqrt{s}} = \dfrac{A}{e^{x \sqrt{s}}} \to 0$ como $x \to \infty$ .

Por lo tanto, ahora tenemos

$$\bar{\phi}(x, s) = Ae^{-x \sqrt{s}}.$$

Ahora utilizamos las condiciones de contorno dadas.

Dejar $x = 0$ en la transformada de Laplace de $\phi$ da

$$\bar{\phi}(0, s) = \int_0^\infty \phi(0, t)e^{-st} \ dt = \int_0^\infty e^{-t}e^{-st} \ dt = \int_0^\infty e^{-t(1 + s)} \ dt$$

$$= \dfrac{-1}{1 + s} \int_0^{-\infty} e^u \ du = \dfrac{1}{1 + s},$$

desde $\phi(0, t) = e^{-t}$ para todos $t > 0$ .

Answer 1

Dejemos que $\widetilde{\phi}(x,s) = \int_{0}^{\infty}e^{-ts}\phi(x,t)dt$ sea la transformada de Laplace de $\phi(x,t)$ . Como ha dicho tenemos la siguiente EDO para $\widetilde{\phi}(x,s)$ : $$ \dfrac{\partial^2{\widetilde{\phi}(x,s)}}{\partial{x}^2} -s\widetilde{\phi}(x,s)- \frac{\cos(x)}{s} = 0 $$ La solución general es sencilla: $$ \widetilde{\phi}(x,s)=Ae^{\sqrt{s}x}+Be^{-\sqrt{s}x} -\frac{\cos(x)}{s(s+1)} $$ donde $A$ y $B$ son dos constantes arbitrarias que necesitan dos condiciones para ser determinadas. La primera condición es física: la solución debe estar limitada en el tiempo y por tanto $A=0$ . La segunda condición es que: $$\phi(0, t) = e^{-t}, \ t > 0 .$$ Ahora la transformada de Laplace de $\phi(0,t)$ es simplemente $\widetilde{\phi}(0,s)=\frac{1}{1+s}$ y así tenemos $B = \frac{1}{s}$ . Finalmente tenemos que la transformada de Laplace de nuestro $\phi(x,s)$ es: $$ \widetilde{\phi}(x,s)=\frac{e^{-\sqrt{s}x}}{s} - \frac{\cos(x)}{s(s+1)} $$

Ahora tenemos que volver a transformarnos. No sé si sabes de análisis complejo. Si no, basta con consultar la tabla de una transformada de Laplace y ver que la transformada inversa de Laplace de $\frac{e^{-\sqrt{s}x}}{s}$ es $\text{erfc}(\frac{x}{2\sqrt{t}})$ y el L.T. inverso de $\frac{1}{s(s+1)}$ es $1 - e^{-t}$ y así la solución es: $$ \phi(x,t) = \text{erfc}\left( \dfrac{x}{2\sqrt{t}} \right) - \cos(x)(1 - e^{-t}). $$ Si conoces el análisis complejo tienes que realizar la siguiente integral compleja: $$ \phi(x,t) = \frac{1}{2{\pi}i}\int_Ldze^{zt}\widetilde{\phi}(x,z) $$ donde L es una línea vertical en el plano complejo a la derecha de toda singularidad de $\widetilde{\phi}(x,z)$ . Cuidado con la presencia de la raíz cuadrada: es una función multivaluada.

Answer 2

Dejemos que $\Phi(s,x)=\int_{0}^{\infty}\phi(t,x)e^{-st}dt$ sea la transformada de Laplace en el tiempo de la solución deseada. Entonces la transformada de la ecuación del calor es $$ \int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{\partial\phi}{\partial t}dt =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}dt-\cos(x)\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt. $$ Ampliando esto se obtiene $$ e^{-st}\phi(t,x)|_{t=0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}(-se^{-st})\phi(t,x)dt \\ =\frac{\partial^2}{\partial x^2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\phi(t,x)dt-\left.\cos(x)\frac{e^{-st}}{-s}\right|_{t=0}^{\infty}. $$

Por lo tanto, $$ -\phi(0,x)+s\int_{0}^{\infty}e^{-st}\phi(t,x)dt=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\phi(t,x)dt-\frac{\cos(x)}{s}. $$

Dejemos que $\Phi(s,x)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\phi(t,x)dt$ . Entonces $\phi(0,x)=0$ da

$$ s\Phi(s,x)=\Phi_{xx}(s,x)-\frac{\cos(x)}{s} \\ \Phi_{xx}-s\Phi=\frac{\cos(x)}{s}. $$ Una solución particular es $C\cos(x)$ . Pero $\cos''=-\cos$ , lo que da $C(-1-s)=1/s$ o $C=-1/(s(1+s))$ . Así que la solución general es

$$ \Phi(s,x)=A\cos(\sqrt{s}x)+B\sin(\sqrt{s}x)-\frac{\cos(x)}{s(1+s)}. $$ Ahora tienes que volver a transformarte en $s$ .