$10$ las letras se colocan en $10$ sobres con dirección. Hallar el número de maneras tales que a lo sumo tres cartas no estén en sobres correctos.

Question

$10$ las letras se colocan en $10$ sobres con dirección. Averigua de cuántas maneras hay como máximo tres cartas que no están en los sobres correctos.

Mi intento:

He dividido el problema en $4$ casos:

Caso $1.$ Si exactamente $0$ cartas no están en sobres correctos implica que todas están en sobres correctos, lo que puede hacerse en $1$ manera.

Caso $2.$ si Exactamente una carta no está en su respectivo sobre , el número de vías es

$$ \binom{10}{1} \times \binom{9}{1} \times (D_9+D_8)$$

donde $D_n$ es un desprendimiento de longitud $n$

Pero para los dos últimos casos, el planteamiento es complicado.

¿Alguna forma mejor?

Answer 1

Hay exactamente una manera de que todas las cartas estén en sus sobres correctos.

Es imposible que haya exactamente una letra en el sobre equivocado, porque si la letra A está en el sobre B, entonces la letra B también debe estar en el sobre equivocado.

Para cualquier forma de poner exactamente dos letras en los sobres equivocados, puedes conseguirlo teniendo todas las letras en los sobres correctos, luego elegir dos letras e intercambiarlas. Por lo tanto, esto puede ocurrir en $\binom{10}2$ maneras.

Por último, para tres cartas en sobres equivocados, es más o menos como lo anterior: empezar con una ordenación perfecta, elegir tres cartas y luego desordenarlas. Hay dos derangements en tres elementos, por lo que hay $2\cdot \binom{10}{3}$ formas de hacerlo.

Answer 2

Te has confundido de trastorno. Como dije en un comentario, no hay forma de que haya exactamente una carta en el sobre equivocado. ¿Qué pasa con el caso de dos letras en el sobre equivocado? Las ocho letras restantes se colocan en el sobre correcto, por lo que lo que nos preocupa es el número de desviaciones de las dos letras colocadas erróneamente. Es decir, tenemos $${10\choose2}\cdot D_2=45$$ formas para este caso. Haga lo mismo para el caso en que exactamente $3$ las letras no están en la posición correcta.