Definición recursiva de esta secuencia

Question

Estoy teniendo algunos problemas para encontrar una definición recursiva para la secuencia siguiente:

$x_0 = \sqrt{1+n}$

$x_1 = \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)}}$

$x_2 = \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)}}}$

$x_3 = \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)}}}}$

y así sucesivamente (donde $n \in \mathbb{N}$). Traté de usar algo así como $x_{i+1} = \sqrt{1 + n f(x_i)}$ donde $f$ sería una función que envía $n$ $n+1$ donde aparece $n$ $x_i$. Tan por ejemplo $f(x_0) = \sqrt{1 + (n+1)}$ y $f(x_1) = \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)}}$. Mi problema es que no puedo averiguar una forma explícita para $f$. Si te sirve de ayuda, el límite de la secuencia es $n+1$.

Answer 1

Uno tiene $xk(n) = f{k+1}(n)$, donde $(fk){k \geqslant 0}$ es la secuencia de funciones definidas de forma recursiva como sigue:

$f_0(n) = 1$

$f_{k+1}(n) = \sqrt{1+nf_k(n+1)}$

De hecho,

$f_0(n) = 1$

$f_1(n) = \sqrt{1+n}$

$f_2(n) = \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)}}$

$f_3(n) = \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)}}}$

etcetera.

Answer 2

Recordemos que una secuencia $(x_k)$ se puede definir de forma recursiva si existe alguna función $g$ tal que $x_{k+1}=g(x_k)$ por cada $k$.

Por supuesto, cada estrictamente creciente secuencia, tales como las secuencias considerado en la pregunta, se puede definir de forma recursiva, el uso de cualquier función de $g$ definido en $X=\{x_k\mid k\geqslant0\}$ $g(x_k)=x_{k+1}$ y, digamos, por $g(x)=0$ por cada $x\notin X$.

Esta versión de la pregunta es más bien superficial, ya que cada secuencia $(x_k)$ se puede definir de forma recursiva en este sentido, excepto si existe $k<\ell$ tal que $x_k=x_\ell$$x_{k+1}\ne x_{\ell+1}$, lo que nunca sucede estrictamente monótona secuencias.

Más interesante versión sería preguntar si todas las secuencias de $(x_k)$ en la pregunta puede ser al mismo tiempo se define de forma recursiva, es decir, si existe una función común a $g$ para cada valor de $x_0$ o, de manera equivalente, para cada valor de $n$.

Entonces la respuesta es negativa.

Es decir, para $n=4$, $x_0=\sqrt5$ y $x_1=\sqrt{1+4\sqrt6}$, mientras que, para $n=2$, $x_1=\sqrt5$ y $x_2=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt5}}$, por lo tanto, era necesario que el $$\sqrt{1+4\sqrt6}=g(\sqrt5)=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt5}}$$ lo cual es absurdo.