El hecho de que cada número primo (mayor que $9$ ) termina con uno de los cuatro dígitos $1,3,7,9$ nos permite clasificar las decenas en las que se encuentran los primos en función de cuál de estas cuatro cifras, sumadas a las decenas, da lugar a un número primo.
Por ejemplo, para los diez primeros tenemos $1 \rightarrow \{1,3,7,9\}$ . De hecho, $10+1$ , $10+3$ , $10+7$ y $10+9$ son todos primos. Por el contrario, para la vigésima decena la asociación es $20 \rightarrow \{\}$ ya que no hay primos entre $200$ y $209$ .
Es fácil ver que cada decena está asociada a un (y sólo un) grupo de símbolos, elegidos entre los siguientes $16$ alternativas distintas: $\{\}$ , $\{1\}$ , $\{3\}$ , $\{7\}$ , $\{9\}$ , $\{1,3\}$ , $\{1,7\}$ , $\{1,9\}$ , $\{3,7\}$ , $\{3,9\}$ , $\{7,9\}$ , $\{1,3,7\}$ , $\{1,3,9\}$ , $\{1,7,9\}$ , $\{3,7,9\}$ , $\{1,3,7,9\}$ .
Para simplificar, podemos identificar cada uno de estos $16$ grupos distintos de símbolos con un solo o con un solo símbolo color como se ilustra a continuación:
Disponiendo las decenas en un triángulo de Pascal, encontramos (*) la siguiente estructura (omitiendo la primera decena en los bordes del triángulo):
(*) ¡Espero que mi código sea correcto! Sería genial si alguien, más experto que yo, pudiera confirmar la aparición de dicha estructura. En caso de que usted está interesado en la doble comprobación, por favor, echa un vistazo a este puesto para más detalles.
Sin embargo, suponiendo que no he metido mucho la pata con el código, mi conjetura es que
Para los dieces muy grandes, no puede haber casillas de color más que en la diagonal exterior del triángulo.
En otras palabras, los grandes primos $p$ debe ser de la forma $p=10^{\binom{n}{k}}+1$ o $p=10^{\binom{n}{k}}+3$ o $p=10^{\binom{n}{k}}+7$ o $p=10^{\binom{n}{k}}+9$ y $k=1$ . Evidentemente, una versión más débil de dicha conjetura es que $k$ puede oscilar entre algún pequeño número entero $2,3,4,5\ldots$ (¿cuáles?).
Este es probablemente un resultado obvio para los expertos (me disculpo, por si acaso), sin embargo me gustaría entender las conexiones entre este enfoque y otros, y también saber si hay alguna técnica para atacar tal problema.
Perdón por la posible ingenuidad, ¡y muchas gracias por sus comentarios y sugerencias!
EDIT: La conjetura se basaba en la suposición de que el trazado del triángulo era correcto. Pero, como ha demostrado Ross, ese no era el caso. Una versión mejorada del código que produce esa trama, de hecho, da como resultado esta imagen:
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Perdona... crees que los primos suficientemente grandes deben ser todos de la forma $10^N+d$ donde $d\in \{1,3,7,9\}$ ? Pero esto es claramente falso. Supongo que he entendido mal lo que has escrito... ¿puedes aclararlo?
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+1 Buena pregunta.
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El cuadro superior parece ser uno de los azules. No entiendo a qué te refieres con omitir los primeros diez de los bordes. El cuadrado superior debería ser ${5 \choose 2}={5\choose 3}=10?$ ¿Por qué los dos siguientes son morados? No entiendo cómo ha llegado a su imagen. ¿Acaso la gran zona blanca del centro afirma que si tomo un coeficiente binomial en esa región y sustituyo el dígito de las unas por $1,3,7,9$ ¿No obtendré una prima? Sería útil tener sólo las diez primeras filas en una imagen más grande con los coeficientes mostrados en cuadrados de color.
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@lulu Eso es definitivamente posible. Puede haber algún error en el código, y el triángulo que he obtenido es un artefacto. Sin embargo, sigue existiendo la versión más débil de la conjetura. De todas formas tu observación es muy interesante. ¿Por qué es falsa? Gracias.
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Bueno, para empezar, Dirichlet nos dice que, dado cualquier $M$ primo a $10$ hay infinitos primos congruentes con $M\pmod {10}$ . Así, por ejemplo, hay infinitos primos que terminan en un millón $1's$ .
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@RossMillikan Omití los primeros diez $\binom{1}{0}$ en los bordes porque no aportan mucho a la imagen. El azul de arriba es verde, el segundo diez. Por favor, eche un vistazo aquí math.stackexchange.com/q/289614/559615 para más detalles. Sí, el área grande no debería contener primos, si mi código es correcto.
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@lulu Entonces probablemente la conjetura es falsa. No sabía lo de la observación de Dirichlet. Gracias.
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Aquí hay un debate sobre Teorema de Dirichlet .
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@lulu ¿La versión más débil se mantiene con el argumento de Dirichlet? Gracias por el enlace.
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Otro problema con su afirmación (y, creo, con cualquier debilitamiento natural de la misma) es que $\sum \frac 1p$ diverge... donde la suma se toma sobre los primos... pero $\sum \frac 1{10^n}$ converge al igual que cualquier múltiplo fijo de la misma.
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He intentado seguir tu enlace, pero es a una pregunta no relacionada. ¿El de arriba es verde porque viene de ${6 \choose 3}=20$ y los primos en $[20,29]$ son $23,29$ ? Entonces los dos morados de abajo vienen de ${7 \choose 3,4}=35$ y $31,37$ ¿son primos? ¿Qué fila es la última que tiene cuadrados de color que atraviesan todo el camino? Sospecho fuertemente que tu algoritmo está fallando cuando los números son demasiado grandes.
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@RossMillikan Lo siento Ross por la horrible foto. Si tomas esta foto representando la posición de las casillas upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/ Acabo de quitar el borde exterior. Dame unos minutos y te digo la fila.
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@RossMillikan Es la decena 34 (es decir, la fila 34 del triángulo de Pascal).
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(+1) Me encantan tus posts. ¿Cómo se te ocurren estas cosas?
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@TheSimpliFire ¡Gracias! Es sólo el desarrollo natural de esta idea math.stackexchange.com/questions/2886024/
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Pero ${36 \choose 13}=1251677700,$ el primero que probé, y $1251677701$ es primo. Ese cuadrado no debería ser blanco
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@RossMillikan 36 te da la posición en el triángulo, pero representa una decena, por lo que debemos comprobar si $1251677700\cdot 10$ +1, +3, +7 o +9 son primos. Sin embargo, ahora lo compruebo de nuevo.
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Así que tu afirmación es que si tomo cualquier entrada $N$ en el centro del triángulo de Pascal entonces $10N+1, 10N+3, 10N+7,$ y $10N+9$ ¿son todos de primera? Habría ayudado a aclararlo. Toda la charla sobre $10$ s no lo hace.
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${37 \choose 13}=3562467300$ y $35624673001$ es primo
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He comprobado el código muchas veces, pero quizá haya un error. Lo estoy comprobando de nuevo.