En límites infinitos

Question

Actualmente estoy aprendiendo sobre límites infinitos en Cálculo, básicamente determinando el límite de una función a medida que x se acerca al infinito. Sin embargo, estoy luchando por entender el método que se utiliza para encontrarlo.

Tomemos la función anterior. El método anterior parece ser ignorar todos los términos con un poder más bajo excepto los términos con el poder más alto. Luego, porque ambos términos más altos son x^5, los tachamos y luego dividimos sus coeficientes, para obtener un límite de 2/3.

Supoongo que puedes hacer esto porque en el infinito, el valor de x^5 sería tan grande que dominaría todos los demás valores. Sin embargo, aún tengo algunos problemas con este método:

1. Pero, según esa lógica, ¿por qué debería importarnos que el coeficiente del numerador sea 4 y el coeficiente del denominador sea 6? ¡El valor de x^5 es tan grande que de todos modos dominaría ambos! ¡A este ritmo, porque dominaría todo, ¿no debería ser infinito sobre infinito el límite de todas las funciones infinitas? Así que, ¿no sería el límite de todas las funciones infinitas 1?

2. Este es otro ejemplo que me confunde. Aparentemente, cuando x es infinito, puedes ignorar el 10, porque el infinito dominaría toda la función, y por lo tanto, el límite sería 0. ¡Pero esto no tiene sentido para mí! ¡Incluso en el infinito, la diferencia entre los 2 sería 10, no 0! No importa qué número tan grande reemplace, la diferencia entre las 2 funciones será 10, y por lo tanto, ¿cómo pueden las funciones acercarse a 0 a medida que x se acerca al infinito?

3. También entiendo que si te alejas en la función anterior, realmente parecería que la función se acerca a 0. Pero ¡entonces ese no sería el límite de la función, ¿verdad? Eso sería alejarse! Una vez que volvamos a acercarnos, podremos ver que la función se mantiene en 10, ¡no se acerca a 0! Entonces, ¿cómo podemos decir que el límite de la función en el infinito es 10?

¿Alguien puede explicarme lo anterior? ¿Puedes también no hacer la explicación demasiado rigurosa? Solo estoy aprendiendo Cálculo de Khan Academy y aún no he tocado cosas como las pruebas de épsilon delta. ¡Gracias!

Answer 1

La lógica para la razón de polinomios:

Desde una razón con grados iguales como

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2+7x-4}$$

podemos reescribir

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3+\dfrac2x+\dfrac1{x^2}}{2+\dfrac7x-\dfrac4{x^2}}.$$

En la última expresión, es claro que los términos con un denominador desaparecerán y todo lo que queda es $\dfrac32$.

Si los grados difieren, el grado más alto "gana".

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^4+2x^2+1}{2x^2+7x-4}=\lim_{x\to\infty}x^2\frac{3+\dfrac2{x^2}+\dfrac1{x^4}}{2+\dfrac7x-\dfrac4{x^2}}=\lim_{x\to\infty}x^2\frac32.$$

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^3+7x-4}=\lim_{x\to\infty}\frac1x\frac{3+\dfrac2x+\dfrac1{x^2}}{2+\dfrac7{x^2}-\dfrac4{x^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac1x\frac32.$$

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Nota que incluso si el numerador y el denominador tienden a infinito, su relación no tiene por qué ser $1$, porque a medida que crecen, su relación puede ser muy diferente de $1$. Esta es la esencia misma de los límites: observas el comportamiento en algún punto (que puede ser infinito) extrayendo conclusiones del comportamiento en puntos cercanos.

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La lógica para las diferencias:

Cuando restas dos cantidades, debes tener mucho cuidado porque puede haber cancelación: si las dos cantidades están cerca una de la otra, la diferencia puede volverse significativa.

Por ejemplo, en

$$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+10}-\sqrt x)$$ no puedes simplificar el $10$ bajo la raíz cuadrada diciendo que es despreciable frente a $x$, porque el segundo $x$ contrarrestará al primero. Pero como no podemos decir $\sqrt{x+10}=\sqrt x+\sqrt{10}$ y simplificar, el cálculo necesita ser más inteligente.

La forma clásica es escribir

$$\sqrt{x+10}-\sqrt x=\frac{x+10-x}{\sqrt{x+10}+\sqrt{x}}$$ y ahora, como no hay cancelación en el denominador, esto se puede reemplazar por

$$\frac{10}{2\sqrt x}.$$

Otra forma es sacar $\sqrt x$ afuera

$$\sqrt{x+10}-\sqrt x=\sqrt x\left(\sqrt{1+\frac{10}x}-1\right),$$ y como $\dfrac{10}x$ es cada vez más pequeño, puedes linearizar:

$$\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\frac\epsilon2,$$ con una aproximación que es cada vez mejor para $\epsilon$ cada vez más pequeño.

Ahora

$$\sqrt x\left(\sqrt{1+\frac{10}x}-1\right)\approx\sqrt x\left(1+\frac{10}{2x}-1\right)=\frac{10}{2\sqrt x}.$$

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La figura ilustra la linearización de $\sqrt{1+\epsilon}$ cerca de $0$.

Answer 2

Con este tipo de cosas, cuando estás aprendiendo, toma una calculadora y pon algunos números. Eso te ayudará a convencerte de lo que está pasando (y a veces te sorprenderá, algunas convergencias son muy, muy lentas: para que $\sum 1/n$ llegue a $10$ necesitas casi $30,000$ términos... ¡pero aún así va hacia $\infty$).

Correcto, especificidad: a medida que $x$ crece, $x^5$ se vuelve significativamente más grande que $x^4, x^3, x^2$ y $x$ -- pon algunos números (por ejemplo 10, 25, 50 y 100) para ver esto. Luego nota que cada vez que aumentas el valor de $x$, los términos con la mayor potencia se multiplican por ese número más grande con más frecuencia, por lo que deben crecer más rápido. Debido a eso, decimos que el término $x^n$ con el mayor $n$ domina la expresión, y podemos ignorar el resto. Para ser matemáticamente preciso, podemos multiplicar todo por $x^{-n}$, lo que nos dará un término constante (el coeficiente de $x^n) y luego una colección de términos de la forma $(1/x)^n$. Dado que $x\rightarrow \infty$, $1/x \rightarrow 0$ -- y esto es por qué no ignoramos el coeficiente de $x^n$ en el límite.

Cuando establecemos el término dominante en el numerador y el denominador, nos queda un cociente mucho más simple y podemos 'cancelar' los $x$'s. De hecho, estamos multiplicando arriba y abajo por $x^{-n}/x^{-n} = 1$, donde $n$ es el mayor de las dos potencias. Si numerador y denominador tienen la misma potencia $n$, entonces nos queda una fracción, y esa es el límite de la secuencia. De lo contrario, tenemos alguna potencia de $x$ ya sea en el numerador (nos vamos a $\infty$) o en el denominador (nos vamos a $0$).

En este punto, vuelve a tus ejemplos anteriores y prueba esto. Deberías encontrar que comienza a tener más sentido.

Answer 3

Como indicaste:

Supongo que puedes hacer esto porque en el infinito, el valor de x^5 sería tan grande que dominaría a todos los demás valores.

Esto es totalmente cierto. Es exactamente por eso que funciona. Sin embargo, es crucial ser cauteloso acerca de este razonamiento ya que hay algunas cosas a considerar. En particular, siempre debes considerar cómo cambia cada función que estás analizando a medida que $x \to \infty$ o $x \to -\infty$.

Para el caso de los polinomios solo necesitas verificar el término líder en cada polinomio porque se puede demostrar (te mostraré cómo) que el término líder domina (como dijiste).

Iré a cada uno de los problemas que mencionas uno por uno:

1. Supongamos que quieres $$\lim_{x \to \infty}{3x^4 \over 7x^4}$$ Entonces, para cualquier valor $x \neq 0$ (incluidos valores enormes cuando $x \to \infty$) tenemos que ${3x^4 \over 7x^4} = {3 \over 7}$. Lo que significa que $$\lim_{x \to \infty}{3x^4 \over 7x^4} = \lim_{x \to \infty}{3 \over 7} = {3 \over 7}$$ Una forma más simple de verlo es que puedes pensar en una constante como $3$ como una función constante $f(x) = 3$ para todos los $x>0$. Luego $f$ también se puede expresar como $f(x) = {3x \over x}$ (ya que $f$ está definida solo para valores positivos). Entonces, $\lim_{x \to \infty} f(x)$ es claramente igual a 3. Ahora supongamos que deseas $$\lim_{x \to \infty}{3x^4 - 2x + 3 \over 7x^4 + 8x^3 + 5x^2 + 6}$$ Entonces, a partir de lo que hemos visto anteriormente, todos nuestros pasos a continuación están justificados excepto el primero: $$\lim_{x \to \infty}{3x^4 - 2x + 3 \over 7x^4 + 8x^3 + 5x^2 + 6} = \lim_{x \to \infty}{3x^4 \over 7x^4} = \lim_{x \to \infty}{3 \over 7} = {3 \over 7}$$ Si divides tanto el numerador como el denominador por el término principal ($x^4$) será claro por qué funciona el primer paso (por lo que el método de solo tomar los términos principales funciona): $$\eqalign{ \lim_{x \to \infty}{3x^4 - 2x + 3 \over 7x^4 + 8x^3 + 5x^2 + 6} &= \lim_{x \to \infty}{{3x^4 \over x^4} - {2x \over x^4} + {3 \over x^4} \over {7x^4 \over x^4} + {8x^3 \over x^4} + {5x^2 \over x^4} + {6 \over x^4}} \\ &= \lim_{x \to \infty}{3 - {2 \over x^3} + {3 \over x^4} \over 7 + {8 \over x} + {5 \over x^2} + {6 \over x^4}} \\ &= {3 \over 7} }$$ ya que a medida que $x \to \infty$ todos los términos excepto $3$ y $7$ tienden a $0$.
2. Un enfoque inicial para este problema puede ser simplemente sustituir valores crecientes para $\sqrt {100 + x} - \sqrt x$. El caso de una diferencia de $10$ se puede encontrar cuando $x = 0$ pero ¿qué pasa si sustituyes $x = 10000$? ¿O $x = 1000000000$? Encontrarás que esta diferencia disminuirá a medida que $x \to \infty$ y no siempre es 10 como pensaste. Este problema es la razón por la que sugiero considerar siempre cómo se comportan tus funciones antes de ignorar términos y esas cosas. El 10 se puede ignorar porque como puedes ver en no es lo mismo aumentar el valor de $x$ de 0 a 100 que aumentarlo de 1000000 a 1000100 debido a la forma en que $\sqrt x$ funciona (es cóncava hacia abajo). Por lo tanto, si defines $f(x) = \sqrt x$ entonces $lim_{x \to \infty} f(100 + x) - f(x) = 0$. Si haces lo mismo con $f(x) = x$ y con $f(x) = x^2$ verás un $\lim$ diferente de $f(100 + x) - f(x)$.
3. Supongo que este problema se resuelve con la respuesta al 2.

Answer 4

Para 2 y 3, parece que estás cometiendo un error algebraico.

$$(\sqrt x + 10)^2=x+20\sqrt x+100\ne x+100$$

Por ejemplo, si $x=10000, \sqrt x=100$. $\sqrt{10100}<101$. De hecho, tu problema muestra $\sqrt{100+x}-\sqrt x=\dfrac{100}{\sqrt{100+x}+\sqrt x}$. A medida que x aumenta, el denominador aumenta sin límite mientras que el numerador permanece igual.

Answer 5

$1.$

Sí, tienes razón; el término con el mayor exponente es tan dominante que podemos 'ignorar' los otros términos. Aunque, creo que la mejor manera de demostrar esto es dividir cada término por el término de mayor grado. En tu primer ejemplo, dividiríamos cada término por $x^7$, y entonces cada término aparte del $9x^7$ y el $3x^7$ tendría algún grado de $x$ en su denominador, por lo tanto tenderían a $0$ cuando $x \rightarrow \infty$.

$2.$

No sé a qué te refieres aquí. ¡No hay ningún $10$ presente en la segunda imagen!

$3.$

No sé de dónde sacas este $10$.