Si $2^\mu$ y $2^\lambda$ son isomorfos como boleanas, ¿es cierto que $\mu = \lambda$?

Question

El contenido de esta pregunta es:

Es lo que voy a decir, ¿correcto?

Es bien sabido que dadas dos cardenales $\lambda < \mu$ podría ser el caso de que $2^{\lambda} = 2^{\mu}$. Aún más, el Easton teorema dice que es consistente con ZFC para forzar a algunas de estas igualdades.

Esto significa que podría ser un bijection entre el conjunto de $2^\lambda$ y el conjunto de $2^\mu$. Por otro lado, afirman que esta correspondencia no puede ser un morfismos de álgebras booleanas. De hecho, el siguiente parece sostener.

Lema Vamos Si $2^\mu$ $2^\lambda$ son isomorfos como álgebras booleanas, a continuación,$\mu = \lambda$.

Por el álgebra booleana de morfismos me refiero a una función que preservar sup e inf.

La prueba es muy simple. En este mapa se $\phi$ preservar la combinación de elementos irreductibles. En un álgebra de boole corresponden a los átomos del álgebra booleana. Por lo tanto $\phi$ restringir a un bijection de los átomos, que es la tesis.

Answer 1

Sí, esto es correcto. Con más fuerza, de hecho, se puede decir que si $\lambda<\mu$, entonces no es inyectiva homomorphism de álgebras Booleanas $2^\mu\to 2^\lambda$, desde un homomorphism tendría que enviar los átomos de $2^\mu$ a una colección de $\mu$ pares distintos de cero los elementos de la $2^\lambda$, lo cual no es posible si $\lambda<\mu$.

Otra fortalecimiento de su declaración es que la categoría de álgebras Booleanas de la forma $2^X$, con completa (es decir, la preservación de infinitas combinaciones) Boolean homomorphisms como morfismos, es equivalente a la opuesta de la categoría de conjuntos. Es decir, cualquier completar homomorphism $2^X\to 2^Y$ debe ser el mapa inducida por un único mapa $Y\to X$. La prueba es sencilla: sólo tienes que buscar en donde cada átomo de $2^X$ se envía, y utilice el hecho de que cada elemento de a $2^X$ es una combinación de átomos. De ello se sigue que si $2^X$ $2^Y$ son isomorfos en esta categoría (es decir, isomorfo como álgebras Booleanas, ya que cualquier isomorfismo de álgebras Booleanas), a continuación, $X$ $Y$ son isomorfos como conjuntos.