¿Por qué es la suma de las probabilidades en una distribución uniforme continua no infinito?

Question

La función de densidad de probabilidad de una distribución uniforme (continua) se muestra más arriba. El área bajo la curva es 1 - lo cual tiene sentido ya que la suma de todas las probabilidades en una distribución de probabilidad es 1.

Formalmente, la anterior función de probabilidad f(x)) se puede definir como

1/(b-a) para x en [a,b]

y 0 en caso contrario

Considere la posibilidad de que tengo que elegir un número real entre una (digamos, 2) y b (es decir, 6). Esto hace que el uniforme de probabilidad = 0.25. Sin embargo, puesto que hay un número infinito de números en ese intervalo, no la suma de todas las probabilidades suma, hasta el infinito? ¿Qué estoy vistas?

Es f(x) no la probabilidad de que el número x ocurriendo?

Answer 1

$f(x)$ describe la densidad de probabilidad en lugar de una probabilidad de masa en su ejemplo. En general, para el continuo de las distribuciones de los acontecimientos-las cosas que obtenemos las probabilidades para-son rangos de valores, tales como el área bajo la curva de $a$ $a+.1$o de $a$ $b$(aunque esos rangos no necesita ser contiguos). Para distribuciones continuas, la probabilidad de cualquier valor único que ocurre es generalmente 0.

Answer 2

Debido a que cada término de la suma es ponderado por el infinitesimal d$x$. La importancia de esto es probablemente más fácil de entender por cuidadosamente caminar a través de un ejemplo muy básico.

Considere el uso de Riemann suma para calcular el área bajo la siguiente región rectangular (un rectángulo fue elegido para quitar la aproximación aspecto de suma de Riemann, que no es el enfoque aquí): ] Podemos calcular el área mediante 2 subregiones, o mediante el uso de 4 subregiones. En el caso de la 2 subregiones (denotado $A_i$), las áreas están dadas por $$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ whereas in the case of 4 subregions (denoted $B_i$), the areas are given by $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ The total area in both cases correspond to $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ Ahora, todo esto es bastante obvio, pero plantea una sutil cuestión importante, que es: ¿por qué estos dos respuestas de acuerdo? Intuitivamente se debe tener claro que funciona, porque hemos reducido el ancho de la segunda serie de subregiones. Podríamos considerar la posibilidad de hacer la misma cosa con 8 subregiones, cada una con un ancho de $0.5$, y de nuevo con 16... y podríamos continuar este proceso hasta que haya un número infinito de subregiones, cada una con una pequeña anchura de d$x$. Como siempre que todo esté siempre correctamente ponderada, las respuestas deben estar siempre de acuerdo. Sin la correcta ponderación, la suma sería, de hecho, simplemente se $\infty$.

Esta es la razón por la que siempre asegúrese de señalar a los estudiantes que una integral no es simplemente el símbolo de $\int$, pero el par de símbolos $\int \text dx$.

Answer 3

Estás en la interpretación de la distribución de probabilidad de la forma incorrecta es un número infinito de infinitamente dividido probabilidades, por lo que no se puede decir que "la probabilidad de sacar el valor de 0.5 a (0, 1) distribución uniforme" debido a que la probabilidad es cero, hay un número infinito de valores posibles que usted podría conseguir, y todos ellos son igualmente probables, por lo que claramente la probabilidad de cualquier resultado es $\frac{1}{\infty} = 0$^[1].

En su lugar, se puede ver en la probabilidad para una amplia gama de resultados, y a medida que el uso de las áreas (y por lo tanto las integrales). Por ejemplo, si se dibuja desde el (0, 1) distribución uniforme (con pdf $f(x) = 1$ $x \in \left[0, 1\right]$ $f(x) = 0$ lo contrario), entonces la probabilidad de que el resultado se encuentra entre el $0.2$ $0.3$ es

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

es decir, tienes un 10% de probabilidad de obtener un resultado en ese rango.

^[1]lo Siento por todas las personas que tienen ataques al corazón en mi sobre-simplificación del cálculo.

Answer 4

$f(x)$ describe la densidad de la probabilidad y tiene la unidad $\frac{p}{x}$. Por lo tanto, para un x dado llegar a $f(x) = \frac{1}{b-a}$ $\frac{p}{x}$ unidades, y no p, como usted está buscando. Si desea p, necesita la función de distribución para un rango dado, que es la probabilidad p de x a y b.

Espero que esto tiene sentido.

Answer 5

En general, tu razonamiento falla en este supuesto:

Sin embargo, puesto que hay un número infinito de números en ese intervalo, no la suma de todas las probabilidades suma, hasta el infinito?

Es un problema matemático, conocido desde la Zenón de Elea Paradojas.

Dos de sus reclamos se que

1. Una flecha puede no llegar nunca a su destino
2. Aquiles nunca va a superar a la de una tortuga

Ambos de ellos se basa en la afirmación de que se puede construir una secuencia infinita de números positivos (en el caso anterior diciendo que una flecha para volar infinitamente veces la mitad de las restantes camino hacia el objetivo, en este último diciendo que Aquiles tiene que llegar a la posición donde la tortuga era antes, y en el mientras tanto, la tortuga se mueve a una nueva posición que se convierte en nuestra próxima referencia de punto de base).

Avance rápido, esto llevó a un descubrimiento de las infinitas sumas de dinero.

Así que en general la suma de una cantidad infinita de números positivos no necesariamente tiene que ser infinito; sin embargo, no puede ser infinito sólo si (una extrema simplificación, lo siento por eso), casi todos los números en la secuencia están muy cerca de 0, sin importar que tan cerca de cero que usted solicite.

Infinito juega aún más trucos. El orden en que se agregan los elementos de la secuencia también es importante y podría llevar a una situación en que la reordenación da resultados diferentes!

Explorar un poco más acerca de las paradojas del infinito. Puede que se sorprenda.