¿Cómo se puede contener un conjunto?

Question

En la famosa paradoja de Russell ("el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos contienen en sí?") obviamente, él se hace el supuesto de que un conjunto puede contener en sí mismo. No entiendo cómo esta debería ser posible y por lo tanto mi respuesta a Russell pregunta sería simplemente "No, debido a que un conjunto no puede contener en sí mismo en primer lugar."

¿Cómo puede un conjunto de ser exactamente el mismo que el que lo contiene? A mí me parece inevitable que la que contiene el conjunto de disponer de un mayor nivel de profundidad en comparación con todos los conjuntos que contiene, al igual que los rusos matryoshka muñecas donde cada muñeca contiene al menos uno más de la muñeca que todas las muñecas en su interior.

Por supuesto, uno puede definir algo como "el conjunto de todos los conjuntos con al menos un elemento" que por supuesto sería incluir una gran cantidad de series y por lo tanto, por definición, debe incluir también a sí mismo, pero no necesariamente la necesidad de incluir en sí misma, porque su definición así lo exija? Para mí, esto sólo parece demostrar que es posible definir algo que no puede existir más allá de su pura definición.

Answer 1

Sí, este es un problema.

Ingenuamente, este tema no puede ser tratado, y vamos a llegar a eso en un momento. Pero en 1917 matemáticos notado ya que "normal establece que" no se contienen a sí mismos, y, de hecho, tienen aún más la propiedad. Es decir, no hay infinito la disminución de las cadenas en $\in$, por lo que no sólo eso $a\notin a$ también es cierto que $a\notin b$ siempre $b\in a$, $a\notin c$ siempre que para algunos $b\in a$ tenemos $a\in b$; y, más en general no hay secuencia $x_n$ tal que $x_{n+1}\in x_n$ todos los $n$.

Esto es exactamente lo que el axioma de regularidad llegó a formalizar. Se dice que la membresía de la relación está bien fundada, que asumiendo el axioma de elección, es equivalente a decir que no hay disminución de las cadenas. En particular,$A\notin A$, para cualquier conjunto $A$.

Pero sabemos que, hoy en día, que es coherente en relación a los otros axiomas de la moderna teoría de conjuntos (leer: $\sf ZFC$) que hay conjuntos que incluyen en sí, es decir,$x\in x$. Podemos incluso ir tan lejos como tener $x=\{x\}$. Incluso se puede organizar una infinidad de conjuntos de la forma $x=\{x\}$.

Esto muestra que, ingenuamente, no podemos probar ni refutar que los conjuntos que se contienen a sí mismos existen. Porque ingenua teoría de conjuntos no tiene ningún formal de axiomas, y se suele tomar como un subconjunto de los axiomas que incluyen muy poco de $\sf ZFC$ en términos de axiomas, y ciertamente no incluye el axioma de regularidad.

Pero también nos dice que no podemos señalar en un conjunto que incluye en sí, si no asumimos el axioma de regularidad. Debido a que estos equipos no puede ser definido de una manera no trivial. Pueden existir y no existir, dependiendo de el universo de los conjuntos en la que estamos. Pero sabemos que para hacer ingenua teoría de conjuntos y aún más, podemos asumir con seguridad que esta situación nunca se produce.

Answer 2

Supongo que se preguntan qué hace que un gran hombre problemas a sí mismo con un problema trivial. El siguiente extracto es de Russell propia explicación de su viaje mental:

Me llevó a esta contradicción al considerar el Cantor de la prueba de que no hay mayor número cardinal. Pensé, en mi inocencia, que el número de todas las cosas que hay en el mundo debe ser el número más grande posible, y he aplicado su prueba este número para ver qué iba a suceder. Este proceso me llevó a la consideración de una manera muy peculiar de la clase. Pensando a lo largo de las líneas que había hasta ahora parecían adecuados, me parecía que una clase es a veces, y a veces no es un miembro de sí misma. La clase de cucharaditas, por ejemplo, no es otra cucharadita, pero la clase de cosas que no son cucharaditas, es una de las cosas que no son cucharaditas. No parecía haber casos en los que son no negativas: por ejemplo, la clase de todas las clases es de una clase. La aplicación de Cantor es el argumento me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismos; y estos, al parecer, se debe formar una clase. Me pregunté si esta clase es un miembro de sí o no. Si es un miembro de sí mismo, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que no sea un miembro de sí misma. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por lo tanto debe ser un miembro de sí misma. Por lo tanto cada una de las alternativas que conduce a su opuesto y hay una contradicción.

Al principio pensé que no debe ser algo trivial error en mi razonamiento. He inspeccionado cada paso bajo la lógica del microscopio, pero no pude descubrir nada malo. Escribí a Frege, quien respondió que la aritmética se tambalea y que él vio que su Ley V era falso. Frege estaba tan perturbado por esta contradicción, que abandonó el intento de deducir de la aritmética a partir de la lógica, a la que, hasta entonces, su vida se había dedicado principalmente. Como los Pitagóricos cuando se enfrentan con incommensurables, se refugió en la geometría y al parecer considera que el trabajo de su vida hasta ese momento había sido equivocada.

Fuente:Russell, Bertrand. Mi desarrollo Filosófico. Capítulo VII de los Principia Mathematica: Aspectos Filosóficos. Nueva York: Simon y Schuster, 1959

Answer 3

La razón por la que hemos aprendido a desarrollar la lógica y el set-theroy con la "profundidad" de la cosa es, precisamente, para evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua.

Una de las ideas clave que ingenua teoría de conjuntos se ejecuta con la idea de equiparar una lógica de predicado con el conjunto de todas las cosas que satisfacen el predicado.

Este es, creo yo, en realidad, una antigua idea filosófica: "¿Qué es azul?" "La colección de todas las cosas que podríamos llamar azul."

Con la idea de que los juegos pueden ser utilizados para traducir la lógica de las nociones real de los objetos matemáticos (conjuntos) que luego podemos con razón, el Cantor nos dio (sin restricciones) comprensión: para la lógica de predicados $\varphi$, hay un conjunto de todas las cosas satisfacer $\varphi$. En la clase-el generador de la notación, el Cantor dijo que el siguiente es un conjunto de:

$$ \{ x \mid \varphi(x) \} $$

No hay nada aquí para evitar que un conjunto que contiene a sí mismo. De hecho, se puede demostrar que hay conjuntos que contienen a sí mismos: si selecciona $\varphi$ a ser el predicado "___ es un conjunto", sin restricciones de comprensión que nos dice que existe un conjunto de todos los conjuntos. Y puesto que es un conjunto, debe ser un miembro de sí misma.

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Los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos se basan en la construcción; por ejemplo, el axioma de emparejamiento dice que si $x$ $y$ son conjuntos, entonces a $\{ x,y \}$ es un conjunto. Todos los conjuntos podemos construir explícitamente el uso de estas construcciones tienen la 'profundidad', pero son los axiomas de Zermelo que carecen de cualquier tipo de principio de inducción que nos permitiría demostrar que todos los conjuntos son "edificable", o incluso que tienen una "profundidad".

Y, de hecho, Z la teoría de conjuntos es consistente con la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos. De hecho, si se quita el axioma de fundación de ZFC, entonces, que también es consistente con la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos.

Answer 4

Un no experto en la reflexión.

Russell no hacer la suposición de que un conjunto puede contener en sí mismo. De técnicamente razones elabora con una construcción "de todos los conjuntos que no es un miembro de sí misma". Porque con esta técnica se puede probar que algo estaba mal en las anteriores anotaciones de conjuntos, especialmente con algunas de las ideas de Frege.

No hay conjuntos de i de la naturaleza distinta de las agrupaciones en la mente humana, por lo que no hay objetos reales para el modelo. En mi mente un conjunto es de unos objetos con identidad, el pensamiento de como rodeado por una valla. Los objetos pueden ser dentro o fuera de la valla. Pero esta es una muy ingenuo imagen que en la mayoría de las obras para conjuntos finitos. Y, por supuesto, en mi definición de un conjunto no podría contener en sí.

Pero los matemáticos son libres de definir lo que logran definir y hay personas interesadas en conjunto-al igual que los objetos que no está prohibido contienen ellos mismos.

En mi opinión, los problemas en la teoría de conjuntos emana de uso no restringido de la palabra "todos" y no a partir de la modelización de series como tales.

Answer 5

Para mí, no es posible tener un conjunto de todos los conjuntos" (entre sí), pero es posible tener "un conjunto de todos los otros conjuntos" (distinto de sí mismo). Es necesario restringir la conceptualización sólo en término de no-auto-contradictoria. Porque, es significativo para hacer un concepto como el de "par impar-números"?

Desde entonces, no hay posibilidad para la auto-contradictorios conceptos de existir, entonces, no debería ser conceptualizar en el primer lugar. Y, en mi opinión, "un conjunto de todos los conjuntos" (entre sí) es uno de los auto-concepto contradictorio, que no debería ser conceptualizar en el primer lugar, sino que presupone su existencia y tratar de averiguar las consecuencias de la misma.

Acerca de lo que Russell dice: "La clase de cucharaditas, por ejemplo, no es otra cucharadita, pero la clase de cosas que no son cucharaditas, es una de las cosas que no son cucharaditas." Mi respuesta es que, a pesar de que "la clase de cosas que no son cucharaditas de" no es también cucharaditas, pero en diferente nivel de "las cosas que no son cucharaditas de", en este caso debemos diferenciar entre "cosas" y "clase de cosas".

Aún más, Russel dice, "No parecía ser de las instancias que son no negativas: por ejemplo, la clase de todas las clases es de una clase." De nuevo, aquí debemos diferenciar entre "La clase de las cosas" y La "clase de clases". Porque está en otro nivel, así que no debe ser puesto en la misma clase.

Y si pudiéramos mantener este principio, entonces, el siguiente punto de que Russel dice no ser confuso. Russel dice: "La aplicación de Cantor es el argumento me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismos; y estos, al parecer, se debe formar una clase." Ahora, debido a que aún diferenciar la diferenciación de los distintos niveles, a continuación, "Las clases que no son miembros de sí mismos" es distinto a "estos, parecía que deben formar una clase", por lo que la pregunta que surgen después de que no es necesariamente surgido, que es "si esta clase es un miembro de sí o no." Porque, la respuesta es clara: "esta clase" que contienen "la clase que no son miembros de sí mismos" contener "la clase que no son miembros de sí mismos", y que no se contienen a sí mismo.