¿Cálculo de la función Lambert-W?

Question

Tengo una ecuación de la forma:

$$n \log n = x$$

Al buscar encontré el término "Función Lambert-W" pero no pude encontrar un método adecuado para la evaluación, ni tampoco ningún código de computadora para su evaluación.

¿Alguna idea de cómo puedo evaluarlo?

Answer 1

Consideremos la función $$f(x)=x \log(x)-a$$ Efectivamente, la solución de $f(x)=0$ está dada por $$x=\frac{a}{W(a)}$$ y, si entendí correctamente, estás buscando un método de cálculo para obtener $W(a)$.

Según la definición, $W(a)$ se define de tal manera que $a=W(a)e^{W(a)}$, por lo que el método de Newton parece ser (y es) muy bueno.

Te sugiero que eches un vistazo en http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function. En el párrafo titulado "Evaluación numérica", dan las fórmulas de Newton y Halley (esta última ha sido ampliamente utilizada por Corless y otros para calcular $W(a)$.

En la misma página de Wikipedia, encontrarás aproximaciones muy buenas y eficientes de $W(a)$ para valores pequeños y grandes. Estas estimaciones te permitirán empezar muy cerca de la solución.

Si puedo resaltar algo que es realmente bueno: todas las derivadas de $W(a)$ se expresan como funciones de $a$ y $W(a)$ mismo, y esto es extremadamente conveniente.

Podrías estar interesado en http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/cpp_src/toms443/toms443.html donde el código fuente está disponible.

Answer 2

Aunque sea una publicación antigua, me sorprende que nadie haya mencionado esto:

$$n\log n=(e^{\log n})\log n=x$$

Ahora debería ser obvio cómo proceder.

$$W(x)=\log n$$

$$e^{W(x)}=n$$

Y como $W(x)e^{W(x)}=x$, $e^W(x)=\frac{x}{W(x)}$ entonces,

$$\frac{x}{W(x)}=n$$

Answer 3

Aunque esto ya ha sido respondido, creo que una explicación paso a paso es más informativa que una general.

Lo siguiente es mi intento:

$$\begin{align*} n \ln (n) =x \quad & \Rightarrow \quad \ln n^n=x \\ & \Rightarrow \quad n^n=e^x \\ & \Rightarrow \quad n=e^{x/n} \\ & \Rightarrow \quad n \times \frac{x}{n}=\frac{x}{n}e^{x/n} \\ & \Rightarrow \quad x=\frac{x}{n}e^{x/n} \\ & \Rightarrow \quad W(x)=W \left(\frac{x}{n}e^{x/n} \right) \\ & \Rightarrow \quad W(x)=\frac{x}{n} \\ & \Rightarrow \quad \boxed{n=\frac{x}{W(x)}} \\ & \Rightarrow \quad n=\frac{x}{x/e^{W(x)}} \quad \text{(since $W(x)e^{W(x)}=x$)}\\ & \Rightarrow \quad \boxed{n=e^{W(x)}} \\ \end{align*}$$

Answer 4

Si estás usando Matlab o quieres ver una implementación robusta (pero simple) de la función Lambert $W$ (solo la rama $W_0$) utilizando el método de Halley, mira mi respuesta aquí.

Como alternativa a la respuesta más general de @ClaudeLeibovici, una ecuación específicamente de la forma $n \text{ln}(n) = x$ podría resolverse y analizarse mejor utilizando la función Wright $\omega$ más simple:

$$n = \frac{x}{\omega(-ln(1/x))}$$

Matlab tiene wrightOmega y Maple tiene Wrightomega para evaluar esta función de manera simbólica. Consulta a Corless y Jeffrey, 2002, La función omega de Wright (PDF) para más detalles. Desafortunadamente, parece que no hay soporte para esta función en SciPy o SymPy.

La función Wright $\omega$ también se puede evaluar numéricamente. Consulta a Lawrence, et al., 2012, Algoritmo 917: Evaluación en doble precisión de la función Wright. He implementado este algoritmo en Matlab, puedes encontrarlo en GitHub aquí. Evaluar esto numéricamente es 3+ órdenes de magnitud más rápido que evaluarlo de manera simbólica. Si tu parámetro $x$ está restringido de ciertas maneras (por ejemplo, de valor real), podrías simplificar tu algoritmo – consulta el paper de Lawrence, et al. y los comentarios en mi código wrightOmega.