Déjame explicarte un poco más.
Operadores de auto-ajuste diagonal
Deje que $ \mathsf {H}$ ser un espacio Hilbert (separable) con una base orthonormal $(e_n)$ . Tome un juego compacto no vacío $K \subset \mathbb {R}$ y una secuencia $( \lambda_n )$ de puntos distintos de $K$ de tal manera que el cierre del conjunto $\{ \lambda_n \colon n \in \mathbb {N}\}$ es $K$ . Construimos un operador autónomo en $ \mathsf {H}$ con el espectro $ \sigma (A)=K$ al establecer $$Ax = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left <x, e_n \right >e_n$$ para todos $x \in \mathsf {H}$ .
La función $E \colon \mathcal {B}(K) \rightarrow B( \mathsf {H})$ donde $ \mathcal {B}(K)$ representa el conjunto de todas las funciones delimitadas de Borel en $K$ y $B( \mathsf {H})$ es el espacio de los operadores de límites lineales en $ \mathsf {H}$ definido por $$E(B)x = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \textbf {1}_{B}( \lambda_n ) \left <x,e_n \right >e_n$$ es la resolución de la identidad (medida espectral, enlace ) para $A$ y a menudo es denotado por $ \mathbf {1}_B(A):=E(B)$ (esta notación es consistente con la aplicación del cálculo funcional, discutido más adelante en la respuesta) para todos $B \in \mathcal {B}(K)$ . Además, lo siguiente es válido $$( \star ) \ \ \qquad Ax = \int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d}x)x = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left <x, e_n \right >e_n,$$ donde $ \int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d}x)$ es una parte integral con respecto a la medida espectral $E$ de $A$ (No voy a definir esta integral aquí, mira esto enlace , $( \star )$ que se supone que da la intuición).
Notación
En Física la gente suele usar la notación Dirac, es decir, ya que lo anterior $A$ puede ser escrito por $ \sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left |e_n \right > \left <e_n \right |$ o incluso $ \sum_ {i} \lambda_i \left |i \right > \left <i \right |$ (si usamos la notación $( \left |i \right >)$ para denotar la base ortonormal) entonces se puede ver a menudo la siguiente anotación $$A = \int \lambda \ \mathrm {d} \left |i \right > \left <i \right |$$ para cualquier operador auto-ajustado (no necesariamente diagonal).
Caso general
Ahora toma un operador arbitrario de auto-ajuste en $ \mathsf {H}$ (no necesariamente diagonal). El teorema espectral establece que $$A = \int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d} \lambda ),$$ donde $E$ es la correspondiente resolución de identidad (medida espectral) para $A$ .
En particular, se puede considerar el cálculo funcional de Borel. Dada una función de Borel limitada $f \in \mathcal {B}( \sigma (A))$ tenemos que $$ f(A) = \int_ { \sigma (A)} f( \lambda ) \ E( \mathrm {d} \lambda ).$$
Nombre
El término identidad en el nombre probablemente proviene del hecho de que $$ \mathbf {1}_{ \sigma (A)}(A) = I_{ \mathsf {H}},$$ y creo que esa resolución corresponde a la forma espectral del operador.
Teorema espectral - versión diferente
También hay una versión del teorema del operador de multiplicación del teorema espectral que dice que cualquier operador auto-acoplado es unívocamente equivalente al operador de multiplicación en algún espacio $L^2( \mu )$ por alguna medida $ \mu $ . Recuerde que un operador de multiplicación con símbolo $f \in L^{ \infty }( \mu )$ es $M_f \in B(L^2( \mu ))$ dado por $(M_f g)(x) = f(x)g(x)$ . Uno puede querer comprobar este enlace para más información .
En particular, la medida espectral para el operador de multiplicación $M_f$ está dada por $E(B) = \mathbf {1}_{f^{-1}(B)}$ para $B \in \mathcal {B}( \sigma (M_f))$ .
