Resolución de la identidad (preguntas básicas)

Question

Hay algunas discusiones avanzadas sobre el título:

1. Resolución de la identidad
2. Resolución de la identidad
3. Resolución de la identidad de un auto-ajuste

Sólo quiero preguntarle la parte más fundamental. (No soy un estudiante de matemáticas.)

De la definición en Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_functional_calculus

Deje que $T$ ser un operador de auto-ajuste. Si $E$ es un subconjunto de Borel de $\mathbb {R}$ y $\mathbf {1}_E$ es la función indicadora, entonces $\mathbf {1}_E(T)$ es un proyección auto-adhesiva en $H$ . Luego el mapeo $$\Omega : E \mapsto \mathbf {1}_E(T)$$ es una medida con valor de proyección llamada resolución de la identidad para el operador de la auto-unión $T$ ( $H$ es un espacio Hilbert).

1. Todavía estoy confundido acerca de cómo $\mathbf {1}_E(T)$ realmente funcionan. $E \subset\mathbb {R}$ sin embargo.., $T$ es un operador definido en $H$ . Así que $T \notin E$
2. ¿Cómo es que $\mathbf {1}_E(T)$ actúan sobre los vectores en $H$ ?
3. "resolución de la identidad": ¿de dónde vienen la "resolución" y la "identidad" de esta definición?

¿Podría alguien hacerme saber esto (mucho mejor si se proporciona un ejemplo concreto)

Answer 1

Déjame explicarte un poco más.

Operadores de auto-ajuste diagonal

Deje que $\mathsf {H}$ ser un espacio Hilbert (separable) con una base orthonormal $(e_n)$ . Tome un juego compacto no vacío $K \subset \mathbb {R}$ y una secuencia $( \lambda_n )$ de puntos distintos de $K$ de tal manera que el cierre del conjunto $\{ \lambda_n \colon n \in \mathbb {N}\}$ es $K$ . Construimos un operador autónomo en $\mathsf {H}$ con el espectro $\sigma (A)=K$ al establecer $$Ax = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left <x, e_n \right >e_n$$ para todos $x \in \mathsf {H}$ .

La función $E \colon \mathcal {B}(K) \rightarrow B( \mathsf {H})$ donde $\mathcal {B}(K)$ representa el conjunto de todas las funciones delimitadas de Borel en $K$ y $B( \mathsf {H})$ es el espacio de los operadores de límites lineales en $\mathsf {H}$ definido por $$E(B)x = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \textbf {1}_{B}( \lambda_n ) \left <x,e_n \right >e_n$$ es la resolución de la identidad (medida espectral, enlace ) para $A$ y a menudo es denotado por $\mathbf {1}_B(A):=E(B)$ (esta notación es consistente con la aplicación del cálculo funcional, discutido más adelante en la respuesta) para todos $B \in \mathcal {B}(K)$ . Además, lo siguiente es válido $$( \star ) \ \ \qquad Ax = \int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d}x)x = \sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left <x, e_n \right >e_n,$$ donde $\int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d}x)$ es una parte integral con respecto a la medida espectral $E$ de $A$ (No voy a definir esta integral aquí, mira esto enlace , $( \star )$ que se supone que da la intuición).

Notación

En Física la gente suele usar la notación Dirac, es decir, ya que lo anterior $A$ puede ser escrito por $\sum_ {n \in \mathbb {N}} \lambda_n \left |e_n \right > \left <e_n \right |$ o incluso $\sum_ {i} \lambda_i \left |i \right > \left <i \right |$ (si usamos la notación $( \left |i \right >)$ para denotar la base ortonormal) entonces se puede ver a menudo la siguiente anotación $$A = \int \lambda \ \mathrm {d} \left |i \right > \left <i \right |$$ para cualquier operador auto-ajustado (no necesariamente diagonal).

Caso general

Ahora toma un operador arbitrario de auto-ajuste en $\mathsf {H}$ (no necesariamente diagonal). El teorema espectral establece que $$A = \int_ { \sigma (A)} \lambda \ E( \mathrm {d} \lambda ),$$ donde $E$ es la correspondiente resolución de identidad (medida espectral) para $A$ .

En particular, se puede considerar el cálculo funcional de Borel. Dada una función de Borel limitada $f \in \mathcal {B}( \sigma (A))$ tenemos que $$f(A) = \int_ { \sigma (A)} f( \lambda ) \ E( \mathrm {d} \lambda ).$$

Nombre

El término identidad en el nombre probablemente proviene del hecho de que $$\mathbf {1}_{ \sigma (A)}(A) = I_{ \mathsf {H}},$$ y creo que esa resolución corresponde a la forma espectral del operador.

Teorema espectral - versión diferente

También hay una versión del teorema del operador de multiplicación del teorema espectral que dice que cualquier operador auto-acoplado es unívocamente equivalente al operador de multiplicación en algún espacio $L^2( \mu )$ por alguna medida $\mu$ . Recuerde que un operador de multiplicación con símbolo $f \in L^{ \infty }( \mu )$ es $M_f \in B(L^2( \mu ))$ dado por $(M_f g)(x) = f(x)g(x)$ . Uno puede querer comprobar este enlace para más información .

En particular, la medida espectral para el operador de multiplicación $M_f$ está dada por $E(B) = \mathbf {1}_{f^{-1}(B)}$ para $B \in \mathcal {B}( \sigma (M_f))$ .