¿Puedes probar que esta fórmula para calcular números primos es correcta?

Question

Hace algún tiempo descubrí la siguiente función para calcular números primos:

$$ Q (x) = \text {frac} \left (\cfrac{\Gamma(x)} {x} \right) \cfrac{x^2}{x-1}=\begin{cases} x & \small \text{if %#%#% is prime} \ 0 & \small \text{otherwise} \end{casos} $$

donde '$x$' parte fraccional y $\text{frac}$ es función Gamma. ¿Hay una manera de demostrar que la fórmula es correcta?

Saludos

Answer 1

Teorema de Wilson: $\Gamma(n) = (n-1)! \equiv -1 \mod n$ iff $n$es primo. Si $n$ es prime, $\text{frac}(\Gamma(n)/n = (n-1)/n$.

Supongo que $n$ es compuesto. Cada % prime $p$también dividir $n$, si $p^j$ es el más alto poder de $p$divisoria $n$, entonces el $p^j$ divide $\Gamma(n)$, y por lo tanto es divisible por $\Gamma(n)$, con la única excepción $n$ $n = 4 = 2^2$. Así si $n \ne 4$, $\text{frac}(\Gamma(n)/n) = 0$.