Hablaré sobre $\mathbf{Cat}$ como una categoría ordinaria localmente pequeña. No hay ninguna diferencia significativa entre las distintas nociones porque los colímetros filtrados en $\mathbf{Cat}$ preservan las equivalencias, por lo que una categoría es finitamente presentable en el sentido bicategórico si y sólo si es equivalente a uno que es finitamente presentable en el sentido enriquecido, y porque la estructura 2-categórica de $\mathbf{Cat}$ proviene de la cerrazón cartesiana, esto es también lo mismo que la presentabilidad finita en el sentido ordinario.
Hay dos condiciones necesarias obvias para que una categoría sea finitamente presentable: debe tener sólo un número finito de objetos y sólo un número contable de morfismos. Dado que el functor "delooping" de monoides (o grupos) a categorías preserva los colímites filtrados, un monoide (o grupo) que es finitamente presentable como categoría debe ser finitamente presentable como monoide (o grupo). Así pues, hay categorías con un número finito de objetos y un número contable de morfismos que son no finamente presentable. Del mismo modo, hay categorías finitamente generadas que no son finitamente presentables.
Es sencillo demostrar que un colímite para un diagrama finito de objetos finitamente presentables es de nuevo un objeto finitamente presentable. Consideremos la subcategoría completa más pequeña $\mathbf{Cat}_\mathrm{fp}$ de $\mathbf{Cat}$ que es cerrado bajo isomorfismos, colímites finitos y contiene $\mathbb{1}$ , $\mathbb{2}$ y $\mathbb{3}$ . Por construcción, cada objeto en $\mathbf{Cat}_\mathrm{fp}$ es una categoría finitamente presentable. Por otra parte, dado que $\{ \mathbb{1}, \mathbb{2}, \mathbb{3} \}$ es un conjunto generador denso para $\mathbf{Cat}$ toda categoría finitamente presentable debe estar en $\mathbf{Cat}_\mathrm{fp}$ . Así, tenemos una caracterización inductiva de las categorías finitamente presentables.
También se pueden caracterizar las categorías finitamente presentables mediante generadores y relaciones como en los casos clásicos. Digamos que a categoría de presentación finita es aquella que tiene una presentación en términos de un número finito de objetos, un número finito de morfismos y un número finito de ecuaciones. Se pueden utilizar los métodos habituales para demostrar que una categoría finitamente presentada es finitamente presentable en el sentido abstracto. Y está claro que toda categoría es un colímite para un diagrama dirigido de categorías finitamente presentadas, por lo que se deduce que toda categoría finitamente presentable es un repliegue de una categoría finitamente presentada. Pero, de nuevo, los métodos habituales muestran que un repliegue de una categoría finitamente presentada debe ser también finitamente presentada, por lo que las dos nociones coinciden.
Volviendo a $\{ \mathbb{1}, \mathbb{2}, \mathbb{3} \}$ de nuevo, considere la representación inducida de Yoneda $N : \mathbf{Cat} \to [\mathbf{\Delta}_{\le 2}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ , donde $\mathbf{\Delta}_{\le 2}$ es la subcategoría completa de $\mathbf{Cat}$ abarcados por $\{ \mathbb{1}, \mathbb{2}, \mathbb{3} \}$ . El functor $N$ es totalmente fiel, preserva los colímites filtrados y todos los límites, por lo que tiene un adjunto izquierdo, digamos $L : [\mathbf{\Delta}_{\le 2}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{Cat}$ y esto debe enviar objetos finitamente presentables en $[\mathbf{\Delta}_{\le 2}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ a objetos finamente presentables en $\mathbf{Cat}$ . Pero un objeto finitamente presentado en $[\mathbf{\Delta}_{\le 2}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ es precisamente una preforma que es finita por componentes, por lo que podemos deducir que una categoría que sólo tiene un número finito de morfismos es finitamente presentable. Por supuesto, esto también podría demostrarse utilizando el hecho de que las categorías finitamente presentadas son finitamente presentables, pero es una buena ilustración del hecho general de que el adjunto izquierdo de un $\aleph_0$ -El functor accesible debe preservar la presentabilidad finita.
Supongo que debo dar un ejemplo interesante de una categoría finitamente presentada. Hay una categoría finitamente presentada $\mathbb{T}$ equipado con una colección finita de conos finitos tal que la categoría de grupos es (canónicamente) equivalente a la categoría de todos los funtores $\mathbb{T} \to \mathbf{Set}$ que envían los conos dados a los conos productos. De forma más general, lo mismo ocurre con cualquier teoría algebraica con un número finito de operaciones y un número finito de axiomas. Uno piensa en esto $\mathbb{T}$ como una aproximación finitamente presentable a la teoría completa de Lawvere.
