He aquí un teorema más fuerte.
Teorema : Dejemos que X sea un espacio metrizable y que (x_n) sea una secuencia en X sin punto de acumulación. Entonces X se incrusta en un espacio metrizable Y en el que (x_n) converge.
Para responder a su pregunta a partir de este teorema, observe que si X no es compacto, tiene una secuencia (x_n) sin punto de acumulación. Si luego se toma Y como en el teorema y restringir su métrica a X se obtiene una métrica en X para el que no es completo, ya que (x_n) es Cauchy pero no converge.
Demostración del teorema : Dejemos que d_0 sea una métrica que induzca la topología de X y que Y sea X con un nuevo punto * añadido. Deja que d_1 sea una métrica sobre el conjunto Z=\{x_n\}\cup\{*\}\subseteq Y tal que (x_n) converge a * con respecto a d_1 . Definimos una métrica d en Y como sigue: para a,b\in Y , d(a,b) es el mínimo de todas las sumas d_{i_0}(y_0,y_1)+d_{i_1}(y_1,y_2)+\dots+d_{i_n}(y_n,y_{n+1}) sobre todas las secuencias finitas de puntos (y_0,\dots,y_{n+1}) y secuencias (i_0,\dots,i_n) tal que y_0=a , y_{n+1}=b Cada uno de ellos i_j es 0 o 1 y si i_j=0 entonces y_j,y_{j+1}\in X y si i_j=1 entonces y_j,y_{j+1}\in Z . Intuitivamente, d(a,b) es la "distancia más corta" entre a y b donde se permite saltar entre puntos utilizando la métrica d_0 o la métrica d_1 . Es fácil comprobar que d es un pseudométrico. También, d\leq d_1 cuando se restringe a Z Así que (x_n) converge a * con respecto a d . Para verificar que d es de hecho una métrica (es decir, la distancia entre puntos distintos es positiva) y que la restricción de d a X equivale a d_0 basta con demostrar la siguiente afirmación:
Reclamación : Para cada x\in X existe \epsilon>0 tal que \{y\in X:d_0(x,y)<\epsilon'\}=\{y\in Y:d(x,y)<\epsilon'\} para todos \epsilon'\leq \epsilon .
Para demostrar esta afirmación, hay que tener en cuenta que como (x_n) no se acumula en x en la topología de X existe \epsilon_0>0 tal d_0(x_n,x)>\epsilon_0 para todos n tal que x_n\neq x . Además, si x\in Z entonces x está aislado en Z con respecto a d_1 (ya que (x_n) converge a * ), por lo que existe \epsilon_1>0 tal que d_1(x,z)>\epsilon_1 para todos z\in Z\setminus\{x\} . Dejemos que \epsilon=\min(\epsilon_0,\epsilon_1) (o simplemente \epsilon_0 si x\not\in Z ).
Para mostrar este valor de \epsilon funciona, supongamos que y\in Y y d(x,y)<\epsilon'\leq\epsilon Debemos demostrar que y\in X y d_0(x,y)<\epsilon' (nótese que la inversa es trivial ya que d\leq d_0 ). Por lo tanto, dejemos que (y_0,\dots,y_{n+1}) y (i_0,\dots,i_n) sea tal que y_0=x , y_{n+1}=y y d_{i_0}(y_0,y_1)+d_{i_1}(y_1,y_2)+\dots+d_{i_n}(y_n,y_{n+1})<\epsilon'. Podemos suponer que el y_j son todos distintos y que el i_j alternar entre 0 y 1 (podemos colapsar términos consecutivos con el mismo i_j valor utilizando la desigualdad del triángulo). Por nuestra elección de \epsilon_1 no existe ningún y_1\in Z tal que 0<d_1(y_0,y_1)<\epsilon' Así que i_0 debe ser 0 . Si n>0 Esto significa que i_1 debe ser 1 Así que y_1\in Z . Sin embargo, esto es imposible, ya que 0<d_0(y_0,y_1)<\epsilon' y por nuestra elección de \epsilon_0 no existe tal y_1 que está en Z . Por lo tanto, sólo podemos tener n=0 Así que nuestra secuencia es simplemente (x,y) , y\in X y d_0(x,y)<\epsilon' .
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¿Cuál es su definición de equivalencia de métrica?
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Si las dos métricas generan la misma estructura uniforme, es decir, la identidad es uniformemente continua en ambas direcciones, entonces una métrica es completa si la otra métrica es completa. Por lo tanto, creo que por equivalente santanu quiere decir que generan la misma topología.