¿Existe siempre una métrica equivalente que no sea completa?

Question

He visto que la completitud no es una propiedad topológica como la compacidad o la conectividad. También he visto algunos ejemplos que muestran que hay dos métricas equivalentes, una de las cuales es completa y la otra es incompleta. Quiero saber algún resultado general. Consideremos un espacio métrico cualquiera $(X,d)$ . Dejemos que $d$ sea completa. ¿Existe una métrica equivalente $d'$ en $X$ ¿que está incompleto? Cuando $d$ es compacto, tal $d'$ no existe (ya que la compacidad implica la completitud). Así que contéstame cuando $d$ es no compacto.

Answer 1

Como has notado, todas las métricas compatibles para los espacios compactos metrizables son completas.

Para los espacios metrizables no compactos, siempre hay una métrica compatible que no es completa. Para ello, seguiré las indicaciones de R. Engelking Topología general (Ejercicio 4.3.E(d) y pista).

Dejemos que $X$ sea un espacio metrizable no compacto con métrica compatible $d$ limitado por $1$ . Obsérvese que un espacio metrizable es compacto si es contablemente compacto por lo que existe una secuencia decreciente $\langle F_n \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ de conjuntos cerrados no vacíos con intersección vacía. Consideremos el mapeo $\rho : X \times X \to \mathbb{R}$ definido por $$\rho ( x , y ) = \sum_n 2^{-n} \color{blue}{\left( | d ( x, F_n ) - d(y,F_n) | + \left[ \min \{ d(x,F_n) , d(y,F_N) \} \right] d(x,y) \right)}. \tag{1}$$ Se puede demostrar que $\rho$ es una métrica compatible para $X$ (esto se debe en gran medida a que la parte de (1) en azul define una pseudométrica sobre $X$ que es continua como función $X \times X \to \mathbb{R}$ para cada $n$ ), y que $\operatorname{diam}_\rho (F_n) \leq 2^{-n}$ para cada $n$ . Así que si $\langle x_n \rangle_n$ es una secuencia tal que $x_n \in F_n$ para cada $n$ entonces es Cauchy con respecto a $\rho$ pero no converge (ya que un límite tendría que pertenecer a $\bigcap_n F_n = \varnothing$ ).

Answer 2

He aquí un teorema más fuerte.

Teorema : Dejemos que $X$ sea un espacio metrizable y que $(x_n)$ sea una secuencia en $X$ sin punto de acumulación. Entonces $X$ se incrusta en un espacio metrizable $Y$ en el que $(x_n)$ converge.

Para responder a su pregunta a partir de este teorema, observe que si $X$ no es compacto, tiene una secuencia $(x_n)$ sin punto de acumulación. Si luego se toma $Y$ como en el teorema y restringir su métrica a $X$ se obtiene una métrica en $X$ para el que no es completo, ya que $(x_n)$ es Cauchy pero no converge.

Demostración del teorema : Dejemos que $d_0$ sea una métrica que induzca la topología de $X$ y que $Y$ sea $X$ con un nuevo punto $*$ añadido. Deja que $d_1$ sea una métrica sobre el conjunto $Z=\{x_n\}\cup\{*\}\subseteq Y$ tal que $(x_n)$ converge a $*$ con respecto a $d_1$ . Definimos una métrica $d$ en $Y$ como sigue: para $a,b\in Y$ , $d(a,b)$ es el mínimo de todas las sumas $$d_{i_0}(y_0,y_1)+d_{i_1}(y_1,y_2)+\dots+d_{i_n}(y_n,y_{n+1})$$ sobre todas las secuencias finitas de puntos $(y_0,\dots,y_{n+1})$ y secuencias $(i_0,\dots,i_n)$ tal que $y_0=a$ , $y_{n+1}=b$ Cada uno de ellos $i_j$ es $0$ o $1$ y si $i_j=0$ entonces $y_j,y_{j+1}\in X$ y si $i_j=1$ entonces $y_j,y_{j+1}\in Z$ . Intuitivamente, $d(a,b)$ es la "distancia más corta" entre $a$ y $b$ donde se permite saltar entre puntos utilizando la métrica $d_0$ o la métrica $d_1$ . Es fácil comprobar que $d$ es un pseudométrico. También, $d\leq d_1$ cuando se restringe a $Z$ Así que $(x_n)$ converge a $*$ con respecto a $d$ . Para verificar que $d$ es de hecho una métrica (es decir, la distancia entre puntos distintos es positiva) y que la restricción de $d$ a $X$ equivale a $d_0$ basta con demostrar la siguiente afirmación:

Reclamación : Para cada $x\in X$ existe $\epsilon>0$ tal que $\{y\in X:d_0(x,y)<\epsilon'\}=\{y\in Y:d(x,y)<\epsilon'\}$ para todos $\epsilon'\leq \epsilon$ .

Para demostrar esta afirmación, hay que tener en cuenta que como $(x_n)$ no se acumula en $x$ en la topología de $X$ existe $\epsilon_0>0$ tal $d_0(x_n,x)>\epsilon_0$ para todos $n$ tal que $x_n\neq x$ . Además, si $x\in Z$ entonces $x$ está aislado en $Z$ con respecto a $d_1$ (ya que $(x_n)$ converge a $*$ ), por lo que existe $\epsilon_1>0$ tal que $d_1(x,z)>\epsilon_1$ para todos $z\in Z\setminus\{x\}$ . Dejemos que $\epsilon=\min(\epsilon_0,\epsilon_1)$ (o simplemente $\epsilon_0$ si $x\not\in Z$ ).

Para mostrar este valor de $\epsilon$ funciona, supongamos que $y\in Y$ y $d(x,y)<\epsilon'\leq\epsilon$ Debemos demostrar que $y\in X$ y $d_0(x,y)<\epsilon'$ (nótese que la inversa es trivial ya que $d\leq d_0$ ). Por lo tanto, dejemos que $(y_0,\dots,y_{n+1})$ y $(i_0,\dots,i_n)$ sea tal que $y_0=x$ , $y_{n+1}=y$ y $$d_{i_0}(y_0,y_1)+d_{i_1}(y_1,y_2)+\dots+d_{i_n}(y_n,y_{n+1})<\epsilon'.$$ Podemos suponer que el $y_j$ son todos distintos y que el $i_j$ alternar entre $0$ y $1$ (podemos colapsar términos consecutivos con el mismo $i_j$ valor utilizando la desigualdad del triángulo). Por nuestra elección de $\epsilon_1$ no existe ningún $y_1\in Z$ tal que $0<d_1(y_0,y_1)<\epsilon'$ Así que $i_0$ debe ser $0$ . Si $n>0$ Esto significa que $i_1$ debe ser $1$ Así que $y_1\in Z$ . Sin embargo, esto es imposible, ya que $0<d_0(y_0,y_1)<\epsilon'$ y por nuestra elección de $\epsilon_0$ no existe tal $y_1$ que está en $Z$ . Por lo tanto, sólo podemos tener $n=0$ Así que nuestra secuencia es simplemente $(x,y)$ , $y\in X$ y $d_0(x,y)<\epsilon'$ .