¿Hay una secuencia cuyos medios aritméticos mentira densas en $[-1..1]$?

Question

¿Hay una secuencia $(an){n \in \mathbb{N}}$ de los números reales en el rango de $[-1..\,1]$ tales que la secuencia de su medios aritméticos $(\alphan){n \in \mathbb{N}}$, dado por $$\alphan = \frac{1}{n}\sum{k=1}^n a_k,\quad n \in \mathbb{N}$ $ tiene una imagen densa en $[-1..\, 1]$?

Mis pensamientos: sí, existe y sospecho fuertemente que la secuencia que alterna entre $1$y $-1$ tal que será constantemente $1$ $2^k$ miembros y luego constantemente $-1$ $2^{k+1}$ miembros y así sucesivamente... para hacer el truco. Y si no lo hace algo similar.

Answer 1

Las losas que mencionas no están expandiendo rápidamente suficiente para garantizar la plena límite conjunto (sólo el tercio medio del intervalo, creo), pero la idea es buena. Supongamos de nuevo que $a_k=1$ por cada $k$ $x_{2n}$ $x_{2n+1}$ algunos $n$ y $a_k=-1$ por cada $k$ $x_{2n-1}$ $x_{2n}$ algunos $n$, para algunos el aumento de secuencia $(x_n)_n$, pero ahora, elija $x_n=2^{n^2}$ por cada $n$. A continuación,$x_n/x_{n+1}\to0$, y esto es suficiente para garantizar que todo el intervalo de $[-1,1]$ es el límite conjunto de $(\alpha_k)_k$.

Para probar la última afirmación anterior, uno podría querer mostrar lo siguiente:

• Cada $\alpha_n$$[-1,1]$.
• La secuencia de término general $\alpha_{x_{2n}}$ converge a $-1$.
• La secuencia de término general $\alpha_{x_{2n-1}}$ converge a $+1$.
• Para cada secuencia $(a_k)_k$ tal que $a_k\leqslant1$ por cada $k$, $|\alpha_n-\alpha_{n-1}|\leqslant2/n$.
• Cada secuencia $(b_n)_n$ tal que $|b_n|\leqslant1$ por cada $n$, con una larga convergentes a $1$, con otra larga convergentes a $-1$, y de tal manera que $|b_n-b_{n-1}|\to0$, tiene exactamente $[-1,1]$ como límite establecido.

Answer 2

Dada una secuencia $b_n$ denso en $[0,1]$, considerar una nueva secuencia $$b_1 \text{ ($ n_1 $ times)}, b_2 \text{ ($ n_2 $ times)}, b_3 \text{ ($ n_3 $ times)}, \ldots$ $ que tiene cada $b_k$ repetidas veces de $n_k$, donde $n_k \ge k (n1 + \ldots + n{k-1})$. Entonces la media aritmética después de %#% de #% diferencia de $b_k$ por menos de $b_k$. De esto es fácil demostrar que los medios aritméticos son densos en $1/k$.

Answer 3

Otra alternativa es:

Que $a_n$ ser una enumeración de los racionales en [-1,1].

Este conjunto es denso en [-1,1]

Definir:

• $b_1=a_1$ y
• $b{n}=n.a{n}-(n-1)a_{n-1}$ $n>1$

La secuencia de medias aritméticas de esta secuencia es exactamente $a_n$, puesto que:

$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}b_k=\frac{1}{n}(n.a_n)=a_n$