Una desigualdad en una matriz con una norma y los valores propios

Question

Que $A = \left( {a_{ij} } \right)$ sea una matriz $\mathbb R$, de tamaño $n \times n$. Sea $\left{ \lambda k \right}{k = 1}^n$ el #% % de #% en valores propios de la matriz. Probar la desigualdad siguiente:

$$ \sum{k = 1} ^ n \left| {PD \lambda} \right|^2 \leqslant \sum{i = 1} ^ n \sum\limits{j = 1} ^ n \left| \right|^2 {a {ij}}. $$

No puedo probarlo, y no estoy seguro si en el problema se supone que existen valores propios reales de $n$, o también es válido para valores propios complejos. D:

Answer 1

Esto es cierto incluso para matrices $\mathbb{C}$. La izquierda y la derecha son invariantes bajo conjugando el % de matriz $A$por una matriz unitaria $Q$. Por lo tanto tomando la Schur descomposición sin pérdida de generalidad podemos suponer que $A$ es superior triangular (pero potencialmente compleja aunque el original $A$ era real). Puesto que los valores propios de una matriz triangular superior a las entradas de la diagonal, la desigualdad sigue.

Answer 2

Estos son las desigualdades de Schur. Hay muchas pruebas que se pueden encontrar. Básicamente sigue directamente de la descomposición de Schur.