¿es el número algebraico?

Question

Es el número de $\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ algebraicas?

Mi primer intento fue el de tratar de un polinomio para que $p(\alpha)=0$ algunos $p(x)=a_{0}+a_{1}b_{1}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}$ i. e $x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ y, a continuación, la plaza muchas veces para deshacerse de la irrationals. Este procedimiento fue inútil.

Segundo intento: me acuerdo de la conferencia tuvimos que si $L=K(\alpha, \beta)$ $\alpha,\beta$ algebraicas sobre $K$ $[L:K]<\infty$ además $[K(\gamma):K]<\infty$ $\gamma=\alpha\pm \beta$ $\gamma=\alpha\beta$ $\gamma=\frac{\alpha}{\beta},\beta\neq 0$ $K(\gamma)\subseteq L$ por lo tanto $\gamma$ es algebraico sobre $K$.

Para la aplicación de la anterior para el problema, a continuación, $\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es algebraica, a continuación, más de $K$ Derecho? O hay alguna otra manera de demostrarlo?

Pero me gustaría saber si es posible encontrar un polinomio mínimo tener $\alpha$ cero? Cómo hacerlo?

Answer 1

$$\alpha=1+\sqrt2+\sqrt3$$ $$\alpha-1=\sqrt2+\sqrt3$$ $$(\alpha-1)^2=5+2\sqrt6$$ $$(\alpha-1)^2-5=2\sqrt6$$ $$((\alpha-1)^2-5)^2=24$$

Answer 2

Usando el teorema es la manera más rápida de Ver que el número es algebraico. Para obtener un polinomio explícita que $\alpha$ como root, calcular potencias sucesivas de $\alpha$, que son de la forma $a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d\sqrt 6$. Con cinco energías diferentes (es decir, $\alpha^0,\ldots,\alpha^4$) para cuatro incógnitas $a,b,c,d$, podrá encontrar una dependencia, que no es otra cosa sino un polinomio distinto de cero con ciento $\alpha$como root.

Answer 3

Yo no puedo hacer esto en mi cabeza, pero espero que el patrón es obvio $$\begin{align} & (x - 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})\\ = & x^4-4x^3-4x^2+16x-8 \end{align}$$ En general, dados cualesquiera dos números algebraicos $\alpha, \beta$ con un mínimo de polinomio $f(x), g(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Si dejamos $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{\deg f}$ $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{\deg g}$ ser los dos conjuntos completos de las raíces de $f(x)$ $g(x)$ en algunos división de campo de la $f(x)g(x)$. yo.e

$$f(x) = \prod_{i=1}^{\deg f}(x - \alpha_i)\quad\text{ and }\quad g(x) = \prod_{j=1}^{\deg g}(x - \beta_j)$$

$\alpha + \beta$ será entonces una raíz de un polinomio con grado de $\deg f \cdot \deg g$. El polinomio puede ser definido como

$$h(x) = \prod_{i=1}^{\°f}\prod_{j=1}^{\° g} ( x - \alpha_i - \beta_j ) = \prod_{i=1}^{\°f} g(x - \alpha_i) = \prod_{j=1}^{\° g} f(x - \beta_j) $$ Los coeficientes de $h(x)$ son simétricas polinomios con coeficientes enteros en $\alpha_i$$\beta_j$. Esto significa que pueden ser expresadas en términos de primaria simétrica polinomios en $\alpha_i$ o en $\beta_j$. es decir, en términos de los coeficientes de $f(x)$ $g(x)$ que pertenece a $\mathbb{Q}$. Como resultado, el polinomio $h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ y, por tanto, $\alpha + \beta$ es algebraico.

El $h(x)$ construida de tal manera, no será necesario un mínimo de polinomio de $\alpha + \beta$. Sin embargo, uno de sus irreductible factor va a ser el que usted desea.

Answer 4

$\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \in \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$, que es un finito-dimensional espacio del vector encima $\mathbb Q$. Por lo tanto, también es finito-dimensional el subespacio $\mathbb Q(\alpha)$ $\mathbb Q$ y así $\alpha$ es algebraica, porque los poderes de $\alpha$ son linealmente dependientes.