¿Hay más de 2 dígitos que ocurren infinitamente a menudo en la expansión decimal de $\sqrt{2}$?

Question

El otro día me puse a pensar en la expansión decimal de $\sqrt{2}$, y me topé con un problema un poco vergonzoso.

No puede ser sólo un dígito que se encuentra infinitamente a menudo en la expansión decimal de $\sqrt{2}$, porque de lo contrario sería racional (por ejemplo $\sqrt{2} = 1.41421356237\ldots 11111111\ldots$ no es posible).

¿Así que debe haber al menos dos dígitos que ocurren infinitamente a menudo, pero son hay más? ¿Es posible que por ejemplo, $\sqrt{2} = 1.41421356237\ldots 12112111211112\ldots$?

Answer 1

Este problema es abierto. Se conjeturó que todo número algebraico irracional es absolutamente normal (es decir, en cada base, aparecen cifras asymptoticaly con la misma densidad. Sin embargo, no es saben si hay cualquier algebraica irracional con algunos tres dígitos que aparece infinitamente muchas veces en cualquier base. Por lo tanto, al mejor de nuestro conocimiento, cada número algébrico irracional podría tener eventualmente sólo ceros y unos en cada base.