Demostrando que un campo del vector es conservador utilizando sólo el teorema de Green

Question

Considere la posibilidad de un campo de vectores $F: \mathbb{R}^2/\{\vec{0}\} \to \mathbb{R}^2$

$$F=(F_1(x,y),F_2(x,y))$$

$\mathbb{R}^2/\{\vec{0}\}$ no es un simplemente conectado dominio . Supongamos también que $F$ es irrotacional.

Puede el siguiente procedimiento sea válido para demostrar que $F$ es conservador?

• Me parece una cerrada curva de $\gamma_1$ que va alrededor del origen y de tal manera que $$\oint_{\gamma_1} F \cdot ds=0$$ (suponiendo que dicha curva existe).

• Si considero que cualquier otra curva cerrada $\gamma_2$ que va alrededor del origen, entonces puedo usar el Teorema de Green y ver la unión de $\gamma_2 \cup \gamma_1$ como la frontera de un dominio normal en $\mathbb{R}^2$. Digamos que este dominio es $D$: a continuación, su frontera es $\partial D=\gamma_1 \cup \gamma_2$. Tengo que elegir la orientación positiva para $\partial D$ pero supongamos que el $\gamma_1$ $\gamma_2$ ya tiene el derecho de orientaciones, con el fin de tener $+\partial D$ (creo que este no es restrictiva). Por lo tanto, por fin puedo decir que:

  $$\oint_{+\partial D} F \cdot ds=\oint_{\gamma_1 \cup \gamma_2 } F \cdot ds=\oint_{\gamma_1 } F \cdot ds+\oint_{\gamma_2 } F \cdot ds= \int \int_{D} \partial_{x} F_2- \partial_{y} F_1=0$$ $$\implies \oint_{\gamma_1 } F \cdot ds=-\oint_{\gamma_2 } F \cdot ds$$ Desde $F$ es irrotacional. Pero $\oint_{\gamma_1} F \cdot ds=0$, por lo tanto

$$\oint_{\gamma_2 } F \cdot ds=0$$

Esto es válido para cualquier curva de $\gamma_2$ que va alrededor del origen. (indipendently por el hecho de que $\gamma_1$ $\gamma_2$ son de hecho orientados en el camino correcto para tener $+\partial D$).

• Para cualquier curva de $\gamma_3$ que no vaya alrededor del origen es posible encontrar un subconjunto $A \subset \mathbb{R}^2/\{\vec{0}\}$ simplemente conectado tal que $\gamma_3 \subset A$, e $F$ es irrotacional, $F$ es conservador, $A$ $$\oint_{\gamma_3} F \cdot ds=0$$
• Así que en conclusión, tenemos $$\oint_{\gamma} F \cdot ds=0 \,\,\, \forall \gamma \subset \mathbb{R}^2$$ and $F$ es conservador.

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Es la prueba anterior válido o hay algún error?

Creo que debería ser válido, pero se ve raro, porque si es así, llego a la conclusión de que $F$ es conservador, buscando en una única curva de $\gamma_1$, lo que parece un poco reductora creo?

Answer 1

Esta es una muy buena pregunta. Su conjetura es correcta:

Teorema. Si el campo $F=(P,Q)$ definido en $\Omega:={\mathbb R}^2\setminus\{0\}$ tiene fuga curl: $Q_x-P_y\equiv0$, y si $\int_{\gamma_*}F\cdot dz=0$ para una sola generación de ciclo $\gamma_*$, $F$ es conservador.

Con el fin de demostrar este teorema se puede demostrar que $\int_\gamma F\cdot dz=0$ para todas las curvas cerradas $\gamma\subset\Omega$. Para esto usted no puede apelar directamente a Verde del teorema, debido a que dicha curva $\gamma$ puede tener selfintersections, o ir alrededor de el origen varias veces, etc. En cualquier caso, usted no puede asumir que $\gamma$ $\gamma_*$ juntos forman el perímetro de un buen dominio de $D$.

En lugar de proceder por construir en primer lugar una función de $f:\>\Omega\to{\mathbb R}$$\nabla f=F$$\Omega$, es decir, un potencial de $F$. Para esta construcción que sólo necesitan Verde del teorema de rectángulos. Por simplicidad, suponga que usted puede elegir de cuatro puntos $z_i=(x_i,y_i)$ $(i\ {\rm mod}\ 4)$ en su "testimonio de la curva" $\gamma_*$, de tal manera que $z_i$ es abierto en el cuadrante $Q_i$, y de tal manera que la parte $\gamma_i$ $\gamma$ conectar $z_{i-1}$ $z_i$ completo se encuentra en el halfplane que contengan $Q_{i-1}\cup Q_i$. Elegir un arbitrario $c_0\in{\mathbb R}$ y definir una función $f_R$ en el derecho halfplane $H_R$ por $$f_R(x,y):=c_0+\int_{x_0}^x P(x',y_0)\>dx'+\int_{y_0}^y Q(x,y')\>dy'\ .$$ De ello se desprende que ${\partial f_R\over \partial y}=Q$$H_R$. La aplicación de Verde del teorema de la obvia rectángulo vemos que también tenemos $$f_R(x,y)=c_0+\int_{y_0}^y Q(x_0,y')\>dy'+\int_{x_0}^x P(x',y)\>dx'\ ,$$ y esto demuestra que ${\partial f_R\over \partial x}=P$$H_R$. De ello se sigue que $$\nabla f_R(x,y)=F(x,y)\qquad\bigl((x,y)\in H_R\bigr)\ .$$ Tenemos $f(z_0)=c_0$ y, utilizando un estándar de hecho acerca de las potencialidades, $$f(z_1)=c_0+\int_{\gamma_1} F\cdot dz=:c_1\ .$$ De la misma manera que la construcción de un potencial de $f_U$ en la parte superior halfplane que requieren $f_U(z_1)=c_1$. Desde $f_U(z_1)=f_R(z_1)$ podemos concluir que $f_U$ $f_R$ coinciden en la intersección $Q_1$ de sus dominios; asimismo, $$f_U(z_2)=c_1+\int_{\gamma_2} F\cdot dz=:c_2\ .$$ De la misma manera que la construcción de un potencial de $f_L$ en la izquierda halfplane que requieren $f_L(z_2)=c_2$, y, a continuación, un potencial de $f_B$ en la parte inferior halfplane que requieren $$f_B(z_3)=f_L(z_3)=c_2+\int_{\gamma_3} F\cdot dz=:c_3\ .$$ La función de $f_B$ también se define en el cuarto cuadrante $Q_4$,donde ya tenemos $f_R$. Desde $\nabla f_B-\nabla f_R=F-F=0$ $Q_4$ sabemos que $f_B$ $f_R$ difieren por una constante. Por lo tanto, calcular $$f_B(z_0)=c_3+\int_{\gamma_4}F\cdot dz=\ldots= c_0+\int_{\gamma_*}F\cdot dz=c_0\ .$$ Esto muestra que, de hecho,$f_B=f_R$$Q_4$, por lo que $f_R$, $F_U$, $f_L$, $f_B$ juntos constituyen un definidos a nivel global de la función potencial de $f:\>\Omega\to{\mathbb R}$$F$. Con esto queda demostrado que $F$ es conservador en $\Omega$.