¿Por qué no se usa la regla del producto en la definición de trabajo mecánico?

Question

La energía mecánica se define normalmente como $P = \mathrm{d}W/\mathrm{d}t$, y el trabajo es definido normalmente como $W = \vec F \cdot \vec x$. Hoy pregrado señaló una confusión que había de Griffiths' E&M libro donde él tiene la línea de

$$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \vec F \cdot \vec v$$

Que es una definición de poder que había visto antes. Pero el estudiante estaba confundido porque parece que, si usted tiene un tiempo dependiente de la fuerza de $\vec F(t)$, la matemática debe trabajar como:

$$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec F(t)}{\mathrm{d}t} \cdot \vec x + \vec F \cdot \frac{\mathrm{d}\vec x(t)}{\mathrm{d}t}$$

(A partir de la regla del producto.)

Sin embargo, nunca he visto a la fórmula anterior, así que supongo que está mal. Además, los enfrentamientos con la $\vec F \cdot \vec v$ versión que estoy bastante seguro de que funciona completamente bien con un tiempo dependiente de la fuerza.

Me dio una muy débil respuesta y le advirtió de que probablemente no sea correcto: yo le dije que si usted comienza con el diferencial de la forma de trabajo, $dW = \vec F \cdot d \vec x$, parece asumir que la fuerza se mantiene la misma en ese pequeño $d\vec x$, por lo que es constante, y luego dividir ambos por $dt$ le da la ecuación que estamos buscando.

Wikipedia parece decir algo similar, básicamente mediante el paso de $d\vec x = \vec v \ dt$ conseguir $\vec F \cdot \vec v$, lo que también supone que $\vec v$ es constante a lo largo de $d \vec x$.

Así que, asumiendo uno de esos son correctos, puedo ver cómo consiguen $\vec F \cdot \vec v$. Pero ¿cuál es el defecto en el producto de la regla de la cosa?

Answer 1

El error en el original razonamiento proviene de la afirmación de que $W=\vec F\cdot \vec x$. Esto es cierto sólo si la fuerza es constante.

Para una partícula que viaja a lo largo de una curva parametrizada $\vec x(t)$ y bajo la influencia de una fuerza de $\vec F(\vec x,t)$ que es explícitamente depende tanto de la posición en el espacio y el tiempo, el trabajo realizado sobre la partícula por esta fuerza de un tiempo de $t_0$ a un tiempo de $t$ es definido de la siguiente manera: \begin{align} W_{t_0}(t) = \int_{t_0}^{t} \vec F(\vec x(t'),t')\cdot \dot{\vec x}(t') \,dt' \end{align} Tenga en cuenta que la expresión de la derecha es a menudo escrita $\int \vec F\cdot \vec dx$, pero esto es muy esquemática, el matemáticamente precisa definición de lo que he escrito anteriormente en términos de parámetros de ruta con una integral sobre un rango de valores del parámetro. La definición de la potencia instantánea es entonces \begin{align} P(t) = \dot W_{t_0}(t) \end{align} Tomando la derivada de ambos lados con respecto a $t$, y usando el teorema fundamental del cálculo, se obtiene la deseada expresión para la energía \begin{align} P(t) = F(\vec x(t),t)\cdot \dot{\vec x}(t') \end{align}

Answer 2

Si tomas un sistema cerrado sin fuerzas externas que actúen sobre él, y dentro de él hay una fuerza que actúa sobre una masa que se mueve una distancia$d\vec r$, entonces$$\vec F\cdot d\vec r + d(energy) = 0$ $

Entonces, debido a su importancia física como parte de una ley de conservación, se le da el nombre de trabajo realizado y una definición diferencial:

ps

Puede crear todo tipo de expresiones diferenciales que incluyan$$dW = \vec F\cdot \vec dr$ y sus diferencias, como$\vec F, \vec r$, pero eso no las hace físicamente útiles.