Demostrar la secuencia del término general $\sum\limits_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ converge

Question

Dada la secuencia $$a_n :=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}$$ Demostrar la secuencia $(a_{2n+1})_{n \geq 0}$ converge.

Mis pensamientos

He demostrado que la secuencia $(a_{2n+1})_{n \geq 0}$ es monótona decreciente. Así que ahora quiero demostrar que la secuencia está acotada por debajo, ya que entonces puedo demostrar que la secuencia converge. Quería demostrar que la sucesión está acotada por debajo por inducción, pero no sé muy bien cómo. Como $$a_{2n+1} :=\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}= 1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$$ Creo que está limitado por $\frac{1}{2}$ .

Utilizando la inducción:

• Para $n=0$ Sabemos que $a_{2n+1} = a_1 = 1 \geq\frac{1}{2}$
• Supongamos que $a_{2n+1} \geq \frac{1}{2}$ . Demostrar que $a_{2(n+1)+1)} = a_{2n+3} \geq \frac{1}{2}$ . Sé que $$a_{2n+3} :=\sum_{k=1}^{2n+3} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = a_{2n+1} -\frac{1}{2n+2} + \frac{1}{2n+3} = a_{2n+1} -\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$$ Pero no sé cómo proceder. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Para demostrar que $a_{2n+1} > \frac12$ , tenga en cuenta que $$ a_{2n+1} = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \underbrace{1 - \frac12}_{=\frac12} + \underbrace{\frac13 - \frac14}_{>0} + \underbrace{\frac15 - \frac16}_{>0} + \ldots + \underbrace{\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}}_{>0} + \underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{>0} > \frac12. $$