Orientaciones complejas en homotopía

Question

Estoy preguntándome si hay una formulación más "geométrica" de orientaciones complejas para teorías de cohomología que simplemente un cálculo de $E^*\mathbb{C}$P$^{\infty}$ o una afirmación sobre clases de Thom. Parece que más adelante en las notas de Hopkins él dice que las orientaciones complejas de E están en correspondencia biunívoca con aplicaciones multiplicativas $MU \rightarrow E$, ¿hay algún tratamiento que comience con esta perspectiva? ¿Cómo ayudan las orientaciones complejas de un espectro E a calcular la homotopía de $E$, o la (co)homología de $E$-MU? Además, ¿qué otros tipos de orientaciones podríamos considerar, hay orientaciones interesantes de $ko$ o $KO$? ¿cuánto de estas orientaciones de E de X es detectado por la cohomología de E de X?

Ya tengo algunas de las referencias clave en mi biblioteca, por ejemplo las notas de Hopkins del '99, las notas 512 de Rezk, Ravenel, y las notas del curso reciente de Lurie. Si hay otras referencias sería genial. Secretamente espero obtener algunas ideas de algunos de los expertos. (Supongo que realmente también debería revisar el trabajo de Tyler sobre variedades abelianas)

(disculpen por los problemas con la escritura en tex pero la vista previa me está dando comentarios extraños.)

EDICIÓN: Eventualmente encontré el tipo de respuesta que estaba buscando en algunas notas de Mark Behrens sobre un curso que enseñó. Esta respuesta es que un espectro de anillos $R$ es complejamente orientable si hay un mapa de espectros de anillos $MU \to R$. Esto también aparece en COCTALOS de Hopkins pero ninguna fuente toma esto como el concepto más fundamental. De todos modos, la respuesta a continuación es más interesante desde un punto de vista geométrico.

Answer 1

El punto de inicio natural de esta historia son las E-orientaciones en variedades cerradas M. Eso es simplemente una clase fundamental $[M^n] \in E_n(M)$ tal que el producto cap induce un isomorfismo (dualidad de Poincare). Dado E, la cuestión se convierte en cuáles M son E-orientables. En muchos casos sucede que esto sigue si el haz normal estable de M admite una elevación a través de una fibración $X\to BO$. Por ejemplo, si E=HZ es cohomología Z ordinaria entonces X=BSO funciona, si E=KO entonces X=BSpin funciona, si E=KU entonces X=BU o X=BSpin$^c$ funciona, etc.

Para formalizar la idea de que cada variedad X tiene una E-orientacion, se forman los grupos de bordismo $\Omega^X_n$ de variedades X y se observa que las clases fundamentales conducen a mapas naturales $\Omega^X_n(Y) \to E_n(Y)$ para cualquier espacio Y. En otras palabras, hay transformaciones naturales de teorías de cohomología $\Omega^X \to E$, o incluso mejor, mapas de espectros $MX \to E$, donde $MX$ es el espectro Thom asociado a la fibración $X\to BO$.

En el caso X=BU esto se llama una orientación compleja de E y ha sido estudiada extensamente porque simplifica enormemente los cálculos de la cohomología de E. El libro azul pequeño original y aún relevante es la referencia de Adams.