Raíces cuadradas: Variables con Exponentes.

Question

Muy bien, déjame entender esto:

$\sqrt{x^2} = |x|$

$\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$

$\sqrt{x^4} = x^2$

$\sqrt{x^6} = |x^3|$

¿Son correctas?

Answer 1

Bueno La primera y la última son más complicadas que las otras dos.

sabes que $x^2$ es siempre positiva y por lo tanto cuando tomamos la raíz cuadrada también será positiva, Por eso $$\sqrt{x^2} = |x|$$

Y la última se desprende de la primera, Pero aquí hay que saber que la potencia par es siempre positiva $x^{2n}$ es siempre positivo para cualquier número entero positivo $n$ y como $6$ es incluso entonces $x^6$ es positivo y por lo tanto $$\sqrt{x^6} = |(x^6)^\frac{1}{2}| = |x^3|$$

Obsérvese que evaluamos al revés, por lo que primero tomamos $x^6$ entonces aplicamos la raíz cuadrada por eso obtenemos la equivalencia del valor absoluto.

El segundo y el tercero son muy fáciles.

$$\sqrt{x^3} = (x^3)^\frac{1}{2} = x^\frac{3}{2} = xx^\frac{1}{2} = x\sqrt{x}$$

y el último sigue el mismo camino

¡Tienes razón!