Ejemplo de la función es diferenciable en a $0$, y ha inversa de la función que no es continua en a $0$?

Question

¿Hay algún ejemplo de una función de $f(x)$ diferenciable en a $x=0$, con una función inversa de la función que no es continua cuando $x=0$? Cualquier ayuda por dónde empezar, o incluso si alguien tiene el ejemplo de una función de este tipo sería muy apreciada.

Answer 1

Para $n\in\mathbb N$, vamos a $A_n$ se establece con las siguientes propiedades:

• $A_n$ es incontable,
• $0\notin A_n$,
• $0\in \overline{A_1}$
• $A_n\cap A_k=\emptyset$ $k\ne n$.
• $(-1,-\frac1{n^2}]\cup[-\frac1{n^2},1)\subseteq \bigcup_{k< n}A_k$

Uno puede escribir como una partición explícitamente (véase más abajo), pero me temo que el formalismo puede ocultar tesis de las cuatro propiedades esenciales.

Para cada una de las $n$, vamos a $$f_n\colon \left(-\tfrac1n,-\tfrac1{n+1}\right]\cup\left[\tfrac1{n+1},\tfrac1n\right)\to A_n$$ ser cualquier bijection y dejar $$f(x)=\begin{cases}0&\text{if }x=0\\f_n(x)&\text{if }\frac1{n+1}\le |x|<\frac1n\end{cases}$$ A continuación, $f\colon(-1,1)\to(-1,1)$ es un bijection. Deje $g$ ser su inversa.

Si $\frac1{n+1}\le |x|<\frac1n$,$f(x)\in A_n$, por lo tanto $|f(x)|<\frac1{n^2}\le (1+\frac1n)^2|x|^2\le 4|x|^2$, por lo tanto $f'(0)=0$.

Pero $g$ no es continua: De curso $g(0)=0$. Pero si $\epsilon>0$, debido a $0$ es un punto límite de $A_1$,$x$$|x|\ge \frac12$$f(x)<\epsilon$. Por lo tanto, hay $x$$|x|<\epsilon$$|g(x)|\ge \frac12$.

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Aquí está una descripción explícita de $A_n$:

$$A_1=\left\{x\in\mathbb (-1,1)\mid x\ne 0, \left\lceil \tfrac1{|x|}\right\rceil\le4\text{ or even}\right\}$$ $$A_n=\left\{x\in\mathbb (-1,1)\mid x\ne 0, n^2<\left\lceil \tfrac1{|x|}\right\rceil\le(n+1)^2\text{ and odd}\right\}\quad\text{if }n\ge2$$

Answer 2

A menos que hay más condiciones que no compartimos, a continuación, $f(x)=e^x$ es una función de este tipo. Su función inversa $g(x)=\ln x$ no está aún definido en $x=0$, mucho menos continuo allí.

Answer 3

Deje $f(x)$ ser el pdf de un estándar de la distribución lognormal y $x=a$ ser su modo. El dominio de $f$$(0,\infty)$, pero también vamos a definir $f(0)=0$. A continuación, la mano derecha derivado de la $f$ cero es cero. Ahora, vamos a \begin{align} Q &= f^{-1}(\mathbb{Q}),\\ Q^c &= f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) = \mathbb{R}^+\setminus Q,\\ g(x) &=\begin{cases} f(x) &\textrm{ if } x\in [0,a]\cap Q,\\ -f(x) &\textrm{ if } x\in [0,a]\cap Q^c,\\ f(x) &\textrm{ if } x\in (a,\infty)\cap Q^c,\\ -f(x) &\textrm{ if } x\in (a,\infty)\cap Q.\\ \end{casos} \end{align} A continuación, $g(0)=g'(0)=0$ $g$ tiene una inversa, sino $g^{-1}$ no es continua en a $0$ porque $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0=g(0)$.