límite de una secuencia de primos

Question

Dejemos que $p[n]$ sea el $n$ -Primero. Sea $0 \leq m < k$ .

Prueba

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ p[(n+k)^2] - p[(n+m)^2] }{ p[n]} = 4(k-m)\;.$$

Esto es una generalización de algo que analicé hace un tiempo. Tengo algunas pruebas empíricas al respecto, pero no puedo demostrarlo. Creo que es difícil (e interesante). No creo que la PNT ayude.

Answer 1

Esto se desprende de hipótesis no demostradas sobre la distribución de los números primos en intervalos cortos. Por lo tanto, seguramente es correcto, pero nadie sabe cómo demostrarlo.

Se conjetura que el número de primos en un intervalo corto de la forma $(x,x+x^\theta)$ es asintótica a $x^\theta/\ln x$ para cualquier $1\ge\theta>0$ . (Esto sólo se conoce para $\theta>0.55$ o algo así, no lo recuerdo. El resultado de Baker-Harman-Pintz relacionado con $\theta=0.525$ no es una asíntota sino sólo un límite inferior).

Esta conjetura de intervalo corto equivale a decir que $p[n+f(n)] - p[n]$ es asintótica a $f(n) \ln n$ para cualquier función agradable $f(n)$ satisfaciendo $n \ge f(n) > n^\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ . Esto implica a su vez que $p[n^2+f(n)] - p[n^2+g(n)]$ es asintótica a $(f(n)-g(n))\ln n^2$ para dos funciones tan bonitas.

Su cociente es el caso $f(n) = 2kn+k^2$ , $g(n) = 2mn+m^2$ . Si conociéramos la conjetura del intervalo corto para algún $\theta<\frac12$ (ya que $f$ y $g$ son aproximadamente la raíz cuadrada de $n^2$ ), se deduce que el numerador de su cociente es asintótico a $4(k-m)n\ln n$ mientras que se sabe que el denominador es asintótico a $n\ln n$ .