En realidad se trata de cómo evalúas el valor de verdad.
$\exists x\varphi(t)$ es verdadera si y sólo si existe alguna $x$ para lo cual $\varphi(x)$ es cierto. A la inversa, es falsa si y sólo si para todo $x$ (en un modelo determinado, por supuesto) $\varphi(x)$ es falso.
La cuantificación interna es sobre todo para "confundir" su intuición y puesto que el valor de verdad de $\forall x\forall y(P(x,y))$ no depende del valor de verdad de la cuantificación externa es más fácil cambiar las variables, incluso informalmente antes de escribir la prueba real.
La propia alegación sólo dice que hay un par $(x,y)$ tal que si $P(x,y)$ entonces $P$ son todos los pares ordenados del universo.
Podemos probar la validez de esta fórmula desde un punto de vista externo, y lo hacemos semánticamente (es decir, no intentamos escribir una prueba, sino mostrar que es válida en todos los modelos), para abreviar denotemos nuestra fórmula $\varphi$ .
Sea $M$ sea un modelo arbitrario de nuestro lenguaje (donde $P$ es una relación binaria).
Si $M\models\forall x\forall y(P(x,y))$ entonces $M\models\varphi$ (¿ves por qué?)
Si $M\models\lnot(\forall x\forall y(P(x,y))$ entonces para algunos $a,b\in|M|$ tenemos $\lnot P(a,b)$ . En particular para este par que $M\models P(a,b)\rightarrow\forall x\forall y(P(x,y))$ por lo que tenemos $M\models\varphi$ .
Si es necesario, debe hacerse de forma rigurosa utilizando el $\operatorname{val}$ función. Recomiendo encarecidamente en el trabajo de los detalles usted mismo y siguiendo de cerca después de las definiciones de $\operatorname{val}_M(\exists x\varphi,g)$ (y de forma similar $\forall x\varphi$ ).
