Si $f_n(x_n) \to f(x)$ $x_n \to x$, mostrar que $f$ es continua

Question

De Pugh análisis del libro prelim problema 57 Capítulo 4:

Deje $f$ $f_n$ funciones de$\Bbb R$$\Bbb R$. Suponga que $f_n(x_n)\to f(x)$ $n\to\infty$ siempre $x_n\to x$. Demostrar que $f$ es continua. (Nota: las funciones de $f_n$ no se supone que ser continuo.)

aquí está mi intento: suponga $x_n \to x$. queremos mostrar que $f(x_n) \to f(x)$. por lo $|f(x_n) - f(x)| \leq |f(x_n)-f_n(x_n)| + |f_n(x_n)-f(x)|$. El segundo término puede ser hecho para ser menos que cualquier $\varepsilon > 0$ $n$ lo suficientemente grande. estoy teniendo problemas con el primer término. alguien puede ayudar? gracias!

Answer 1

Supongamos $(x_n)$ converge a $x$ y deje $\epsilon>0$.

Tenga en cuenta que la hipótesis implican $(f_n)$ converge a $f$ pointwise. A partir de esto, elegir una larga $(f_{n_k})$ $(f_n)$ tal que $$ |f_{n_k} (x_k) -f(x_k)|<\epsilon$$ for every $k$.

Reclamo: $f_{n_k}(x_k)$ converge a $f(x)$.

Prueba de Reclamación: Considerar la secuencia de $(y_n)$ $$(y_n)= (\underbrace{x_1,x_1,\ldots,x_1}_{n_1\text { -}}\,,\, \underbrace{x_2,x_2,\ldots,x_2}_{n_2-n_1\text { -}}\,,\, \underbrace{x_3,x_3,\ldots,x_3}_{n_3 - n_2 \text {-}},\ldots). $$ Desde esta secuencia converge a$x$,$f_n(y_n)\rightarrow f(x)$. Por lo tanto $f_{n_k}(y_{n_k})=f_{n_k}(x_k)\rightarrow f(x)$.

Ahora el uso de la Demanda y de la desigualdad: $$ |f(x_k)-f(x)| \le |f(x_k)-f_{n_k}(x_k)|+|f_{n_k}(x_k)-f(x)|. $$

Answer 2

Aquí está una insinuación: fijar $n$ y considerar la secuencia constante $x_m = x_n$ % todos $m$. Esto converge a $x_n$, por lo que su asunción le dice que $f_m(x_n)$ converge a $f(x_n)$ $m \to \infty$. Ahora mira a la construcción de las desigualdades que implican cosas como $f_m(x_n)$ y no olvide que las secuencias convergentes son también Cauchy.

Answer 3

Bonito Problema. $\newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$Hay otro enfoque:

Supongamos $\{x_n\}$ es una secuencia arbitraria que converge a $x$. Basta probar que $$f(x_n)\to f(x)\tag{*}$$

La clave es construir un creciente número entero secuencia $0<N_1<N_2<\dotsb$ tal que $$\abs{f_{N_k}(x_k+1/N_k)-f(x_k)}<1/k\tag1$$ Vamos a construir términos de forma inductiva.

Poner $N_0=0$, y supongamos $N_0,\dotsc,N_{k-1}$ son construidos. Ahora considere la secuencia de $\{f_m(x_k+1/m)\}$. Desde $x_k+1/m\to x_k$$m\to\infty$, tenemos $$\lim_{m\to\infty}f_m(x_k+1/m)=f(x_k)$$ Así que hay algunos $N_k>N_{k-1}$ tal que $\abs{f_{N_k}(x_k+1/N_k)-f(x_k)}<1/k$.

Ahora vamos a considerar la secuencia, es decir,$\{a_n\}$: $x_1+1/N_1,\dotsc,x_1+1/N_1,x_2+1/N_2,\dotsc,x_2+1/N_2,\dotsc$. $x_1+1/N_1$ aparece $N_1-N_0$ veces, seguido por $x_2+1/N_2$ $N_2-N_1$ veces, luego de lo $x_3+1/N_3$ $N_3-N_2$ a veces, y así sucesivamente, tenemos $a_n\to x$, lo $f_n(a_n)\to f(x)$ $n\to\infty$

Observe que $a_{N_k}=x_k+1/N_k$, e $f_{N_k}(a_{N_k})=f_{N_k}(x_k+1/N_k)$, por lo tanto $$\lim_{k\to\infty}f_{N_k}(x_k+1/N_k)=f(x)\tag2$$

(*) se sigue de (1) y (2)

Answer 4

Tenga en cuenta que $f_{n}(x) \to f(x)$ % todos $x$.

Suponga que f es discontinua en esta significa que

hay una secuencia de $x_n \to a$ y

$f(x_n)\notin [f(a)-2\epsilon ,f(a)+2\epsilon] $ $\epsilon>0 $.

Entonces construir otra secuencia $y_n $ como sigue:

$y_1=y_2=...=y_{N_1}=x_1 $ donde $ |f_{N_1}(x_1) -f(a)|>\epsilon$

$y_{N_1+1}=y_{N_1+2}=...=y_{N_{2}}=x_2$ donde $ |f_{N_2}(x_2)-f(a)|>\epsilon$ y $N_2>N_1$

...

Ahora, $y_n\to a$ $f_n(y_n)\to\neq f(a)$!

Por lo tanto, tenemos una contradicción.

f es continuo.