Conjuntos cruzados de productos cruzados

Question

Esto es lo que estoy tratando de probar.

Permita que$A, B, C$ sean conjuntos no vacíos. Pruebalo $A \times (B \cap C) \subseteq (A \times B) \cap (A \times C)$

Primero necesitaría probar$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$

Si utilicé la regla de distribución, entonces obtengo:$(A \times B) \cap (A \times C) = (A \times B) \cap (A \times C)$

Siento que usar la distributividad aquí es incorrecto porque ambos lados se igualan, lo que se convierte en un subconjunto apropiado. ¿Me equivoco?

Entonces obtendría$(A \times B) \cap (A \times C) \subset (A \times B) \cap (A \times C)$

Answer 1

Edit: a partir De los comentarios, parece que se te pide para mostrar la igualdad (distributividad de $$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$$

y usted puede hacer esto por "elemento", "persiguiendo" I. e., demostrar que los siguientes mantenga: $$(x,y) \in \Big[A \times (B \cap C)\Big] \implies (x, y) \in\Big[ (A \times B) \cap (A \times C)\Big] $$ $$ (x,y) \in\Big[ (A \times B) \cap (A \times C)\Big] \implies (x, y) \in \Big[A \times (B \cap C)\Big]$$y listo. Pero tenga en cuenta que usted no puede utilizar lo que se le pide que demuestre (distributividad del producto cruzado). El uso de las definiciones de la cruz-producto, y la definición de intersección de probar el de arriba (y también la distributividad más de conjunción/intersección de conjuntos).

Usted también puede empezar a desempacar la definición de $A \times (B\cap C)$ el uso de set-generador de notación, y a través de paso a paso de equivalencia, llegar al conjunto de la definición de $(A \times B) \cap (A \times C)$, mostrando lo que hacemos en el hecho de que la igualdad se mantiene.

Por ejemplo:

$$\begin{align} A \times (B\cap C) & = \{(x, y)\mid x \in A \land y \in (B \cap C) \}\\ \\ & = \{(x, y)\mid x \in A \land (y \in B \land y \in C)\} \\ \\ & = \qquad \vdots \\ \\ & = \{(x, y)\mid (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \in C)\} \\ \\ &= (A \times B) \cap (A \times C)\end{align}$$