Un problema de Komal

Question

Para cada entero$n\ge 2$ let$$P(n)=\prod (\pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \cdots \pm \sqrt{n})$ $ donde el producto está sobre todas las permutaciones posibles de los signos.

• Probar $P(n)\in \mathbb{Z}\;\forall n$
• Deje$p_n$ ser el divisor principal más grande de$P(n)$. Mostrar para cada$\epsilon >0$ hay$n_0$ de manera que para$\forall n>n_0$ tenemos$$\log_2 \log_2 p_n<\epsilon n$ $

Este problema es de la revista Komal, A578, me pareció interesante pero no pude hacerlo. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Solo puedo ofrecer la solución para la primera parte, usando la identidad$(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a}) = x^2 - a$ repetidamente.

En la segunda parte, no sé cómo mostrar$p_n < 2^{2^{\epsilon n}} $ para todos$\epsilon > 0$ y$n > n_0$.