Resolver la ecuación de Pell $x^2-5y^2=\pm4$.
Esta ecuación surge cuando intentaba demostrar que las unidades de $\mathbb{Z}[\varphi]$ donde $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la proporción áurea, son de la forma $\pm\varphi^n$. Me encontré con que $x+\varphi y$ es una unidad iff $x^2+xy-y^2=\pm1$, es decir,$(2x+y)^2-5y^2=\pm4$. Sin embargo, soy incapaz de resolver esta ecuación. Vi aquí una solución con el uso de la teoría algebraica de números, pero estoy interesado en cómo resolver esta ecuación usando elementary métodos, sin el uso de los resultados de la teoría algebraica de números. Gracias de antemano!
Respuestas
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Vamos a tomar una solución de $(x,y)$$x^2-5y^2=\pm4$. Suponga $x>0$$y>0$. También, evidentemente, $x$ $y$ tienen la misma paridad. Definir $$x'=\frac{5y-x}2,\qquad y'=\frac{x-y}2.$$ A continuación, $x'$ $y'$ son enteros, y $$x'^2-5y'^2=\frac{(5y-x)^2-5(x-y)^2}4=\frac{20y^2-4x^2}4=\pm4.$$ Por lo tanto, $(x',y')$ es también una solución. Yo reclamo que $y'\ge0$$x'>0$.
Si $y'<0$$x<y$$x^2-5y^2<-4x^2<-4$, lo cual es falso. Por lo $y'\ge0$. Si $x'\le0$ $x\ge5y$ $x^2-5y^2\ge20y^2>4$ lo cual es falso. Así $y'\ge0$.
Yo reclamo que mientras $y\ge2$,$y'<y$. De lo contrario, $x\ge3y$ y $\pm 4=x^2-5y^2\ge4y^2$. Esto sólo es posible si $y=1$.
Así, repitiendo la operación $(x,y)\mapsto(x',y')$ eventualmente reduce $(x,y)$ a una solución de $(X,Y)$$X>0$$Y\in\{0,1\}$. Por lo tanto a $(X,Y)=(2,0)$, $(1,1)$ o $(3,1)$. Todas estas disminuir a $(2,0)$.
Por lo tanto, podemos comenzar con $(x_0,y_0)=(2,0)$ y revertir la operación generar todas las soluciones positivas. El proceso iterativo se $$(x_{n+1},y_{n+1})=\left(\frac{x+5y}2,\frac{x+y}2\right).$$
Stephan Aßmus
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16
Un poco mejor formato. Dado alguna solución a $u^2 - 5 v^2 = \pm 4$ con grandes positivo $u,v,$ una solución más pequeña puede ser construido con $$ (u,v) \mapsto (9 u - 20 v, \; -4 u + 9 v). $$ As a result, we get a finite number of "seed" solutions, those being $u,v,\geq 0$ with either $9u - 20 v < 0$ or $-4u + 9v < 0.$ The set of such seeds is guaranteed finite; with large positive values and $u^2 - 5 v^2 = \pm 4,$ we have $u/v \approx \sqrt 5 \aprox 2.236,$ arbitrarily close. The seed pairs have either $u/v < 2.22222$ or $u/v > 2.250.$
Put it together, all solutions are given by $u$ a Lucas number and $v$ Fibonacci.
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jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental_plus_minus
automorphism matrix:
9 20
4 9
backwards:
9 -20
-4 9
9^2 - 5 4^2 = 1
u^2 - 5 v^2 = +- 4
Sat Jun 3 11:46:39 PDT 2017
u: 2 v: 0 SEED KEEP +-
u: 1 v: 1 SEED BACK ONE STEP -11 , 5
u: 3 v: 1 SEED KEEP +-
u: 4 v: 2 SEED BACK ONE STEP -4 , 2
u: 7 v: 3 SEED BACK ONE STEP 3 , -1
u: 11 v: 5 SEED BACK ONE STEP -1 , 1
u: 18 v: 8
u: 29 v: 13
u: 47 v: 21
u: 76 v: 34
u: 123 v: 55
u: 199 v: 89
u: 322 v: 144
u: 521 v: 233
u: 843 v: 377
u: 1364 v: 610
u: 2207 v: 987
u: 3571 v: 1597
u: 5778 v: 2584
u: 9349 v: 4181
u: 15127 v: 6765
u: 24476 v: 10946
u: 39603 v: 17711
u: 64079 v: 28657
u: 103682 v: 46368
u: 167761 v: 75025
u: 271443 v: 121393
u: 439204 v: 196418
u: 710647 v: 317811
u: 1149851 v: 514229
u: 1860498 v: 832040
u: 3010349 v: 1346269
u: 4870847 v: 2178309
u: 7881196 v: 3524578
u: 12752043 v: 5702887
Sat Jun 3 11:46:59 PDT 2017
u^2 - 5 v^2 = 4
jagy@phobeusjunior:~$
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Same problem with $13$ rather than $5.$ Instead of $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n,$ this time we get $u_{n+2} = 3 u_{n+1} + u_n.$
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jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental_plus_minus
automorphism matrix:
649 2340
180 649
backwards:
649 -2340
-180 649
649^2 - 13 180^2 = 1
u^2 - 13 v^2 = +- 4
Sat Jun 3 17:46:55 PDT 2017
u: 2 v: 0 SEED KEEP +-
u: 3 v: 1 SEED BACK ONE STEP -393 , 109
u: 11 v: 3 SEED KEEP +-
u: 36 v: 10 SEED BACK ONE STEP -36 , 10
u: 119 v: 33 SEED BACK ONE STEP 11 , -3
u: 393 v: 109 SEED BACK ONE STEP -3 , 1
u: 1298 v: 360
u: 4287 v: 1189
u: 14159 v: 3927
u: 46764 v: 12970
u: 154451 v: 42837
u: 510117 v: 141481
u: 1684802 v: 467280
u: 5564523 v: 1543321
u: 18378371 v: 5097243
Sat Jun 3 17:47:25 PDT 2017
u^2 - 13 v^2 = +- 4
jagy@phobeusjunior:~$
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Esta vez el 29 de
jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental_plus_minus
automorphism matrix:
9801 52780
1820 9801
backwards:
9801 -52780
-1820 9801
9801^2 - 29 1820^2 = 1
u^2 - 29 v^2 = +- 4
Sat Jun 3 17:54:38 PDT 2017
u: 2 v: 0 SEED KEEP +-
u: 5 v: 1 SEED BACK ONE STEP -3775 , 701
u: 27 v: 5 SEED KEEP +-
u: 140 v: 26 SEED BACK ONE STEP -140 , 26
u: 727 v: 135 SEED BACK ONE STEP 27 , -5
u: 3775 v: 701 SEED BACK ONE STEP -5 , 1
u: 19602 v: 3640
u: 101785 v: 18901
u: 528527 v: 98145
u: 2744420 v: 509626
u: 14250627 v: 2646275
Sat Jun 3 17:55:38 PDT 2017
u^2 - 29 v^2 = +- 4
jagy@phobeusjunior:~$
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sirous
Puntos
11
Hay una buena historia de soluciones en la Wikipedia. Para la solución de la Pell de la
como la ecuación x^2−Y^2=±C^2. Siempre puedes usar el siguiente algoritmo:
Una:
x^2−5y^2 = 4
supongamos que x = y + a entonces tenemos:
y^2+2ay+a^2 -5y^2= 4 o 4y^2-2ay-a^2+4=0
y= [a±(5a^2-16)^0.5]/4
con a= 10 obtenemos y = 8 y x = 10 + 8 = 18
Supongo que hay más soluciones en N para esta ecuación.
con a=0 obtenemos las soluciones complejas que x = y = ±i y con cualquier otro de estos
dos podemos obtener soluciones reales, pero se debe comprobar en la ecuación.
B:
Para la ecuación x^2−5y^2 = -4 asumiendo de nuevo x = y+a, se obtiene:
4y^2 - 2ay -a^2-4=0
y = [a±(5a^2+16)^0.5]/4
con a=2 obtenemos y =2 y=-1 ; si y=-1 entonces x=±1 estas son las soluciones en R. Puede haber una infinidad de soluciones en R .
Con a=6 obtenemos y=5 y x = 6+5=11. Más soluciones en N es probable.
con a=0 obtenemos y = x = ±1
Generalmente existe un algoritmo que dice que no puede ser infinitamente muchos Pell como ecuaciones en que triplica x, D y y son funciones de un parámetro, por ejemplo m.Ahora voy a resolver la ecuación x^2−5y^2 = 4 con este algoritmo:
Supongamos que x=m^2 +2, tenemos:
m^2 m^2+4) = 5^2
si y^2=m^2, entonces y = ±m y también:
m^2 +4 = 5 ; m=±1 resultados que x = 3
y triples (x, D, y)=(m^2+2, 5m, ±m) para m=-1 y
(x, D, y) = (m^2+2, -5, ±m) para m=1.
Ahora podemos hacer más Pell como ecuaciones; por ejemplo, con m =2 tenemos:
D = 5 . 2 =10 que da x^2 -a 10 años^2 = 16 que las soluciones son x=2^2 +2 =6
y y=±2.
