George en la foto 4 números naturales. Cada uno de esos números multiplicados por tres y escribió los cuatro resultados en una pizarra. También calculó todos los productos posibles de los pares de los números escritos, escribió entonces todos los 6 productos en la pizarra. Probar que (de los diez números escritos en la pizarra) seguramente hay dos números que terminan con el mismo dígito.
Respuestas
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Ted Shifrin
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Sugerencia: Mod 10, todos de los originales cuatro números son distintas (o bien hemos terminado inmediatamente), y ninguno puede ser $1$ o $3$. Así que tenemos una lista de diez dígitos y ninguno en la lista puede ser $3$. Deja sólo $9$ los posibles valores de diez dígitos, para que algunos par debe estar de acuerdo.
Mike Pierce
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En primer lugar, ya que estamos hablando sólo el último dígito de cada número, se puede pensar de todo este problema módulo diez.
De modo que el módulo de diez, exactamente uno de los últimos números debe ser cero. Si uno de nuestros primeros números es cero, luego de más de un producto será igual a cero. De lo contrario, uno de nuestros números iniciales deben ser de cinco, en el que caso de que más de uno de los productos será cero o cinco.
Tenga en cuenta que esta solución no utilice el hecho de que uno de los números iniciales eran tres, así que esto es cierto para cualquiera de los cinco números de inicio.
fleablood
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Sólo para ser intratable y diferente:
Cada número original "influencias" cuatro de los diez resultados; una vez que cuando se multiplica por 3, y una vez que cuando se multiplica por cada uno de los otros tres números originales.
Dados dos números originales de cada uno de los cuatro resultados, pero uno de los resultados será el resultado común de la multiplicación de los dos números juntos. Así que un par de dos número original "influencias" siete de los diez resultados; Los dos donde cada uno se multiplica por 3, la cuatro, donde cada uno se multiplica por cada uno de los otros dos números originales, y en la que se multiplican juntos.
Recuerde: Incluso a veces nada es aún. Tiempos impares impares es impar. Para tener un resultado, no debe ser un original. Si hay incluso una original sólo tienen aún resultados. Así que....
Si hay dos o más números originales que van a influir en 7 resultados. No puede ser distinto, ya que hay sólo 5 dígitos.
Si hay exactamente uno incluso número original, va a influir en 4 resultados. Todos los restantes 6 resultados será impar. Como sólo hay 5 dígitos impares no va a ser distinto.
Por último, si no son ni siquiera los números originales, no habrá incluso los resultados y los diez resultados no pueden ser distintos.
Por lo que los resultados no pueden ser distintos. (De hecho, tendrán 4, 7, 9, o 10 dígitos y 6,3,1, o 0 impar de dígitos).
....
Pero por simplicidad, prefiero Mike Pierce respuesta de señalar $0$ como un original número de resultados en la repetición de los resultados. (En mi terminología serían $1$ resultado distinto: $0$). $5$ hace así (ya que sólo tiene dos resultados: $5$$0$). Sin $0$ o $5$ como números originales, los resultados de las $0$ $5$ son imposibles ($a*b = 0$ implica que uno o el otro es el cero o el uno o el otro es de cinco y el otro es incluso; $a*b = 5$ implica que uno es $5$ y el otro es impar.) y sin $5$ o $0$ ya que los resultados no son sólo $8$, no $10$, posibles distintos resultados.
