Resolviendo los casos de suma

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Demostrar que

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k-1}} {k} \binom{n} {k} = 1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$

Yo y mi amigo discutido esto hace dos días. En este caso, se demuestra que va a $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$ (lado derecho de la expresión en forma de suma), pero lamentablemente no nos pasó nada. Una cosa que realmente se evapora la dificultad es cuando se necesita aplicar el binomio expresiones, relativa a la suma de límite inferior y límite superior, para probarlo, sin embargo, tengo la sospecha de que podamos falta de conocimiento conocer la identidad/teorema que tal vez útil para abordar este problema. Así que, ¿tiene usted alguna idea para esto?

Answer 1

Hay una hermosa prueba de esta identidad en la representación integral:

ps

Esto es fácil de confirmar porque:

ps

Entonces,

\begin{align*} H_n &= \int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x}dx\\ &= \int_0^1 \frac{1-(1-u)^n}{u}du\\ &= \int_0^1 \frac{1-\sum_{k=0}^n\binom n k (-u)^k}{u}du\\ &= \int_0^1 \left(-\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom n k u^{k-1}\right)du\\ &= -\sum_{k=1}^n (-1)^k\binom n k\int_0^1 u^{k-1}du\\ &= -\sum_{k=1}^n (-1)^k\binom n k \frac{1}{k}\\ \end{align*}

Answer 2

La siguiente variación es el Ejemplo 3 en la sección 1.2 de las identidades combinatorias clásicas de John Riordan.

Considere la posibilidad de$n=1,2,\ldots$ \begin{align*} f_n&=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\left[\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\right]\frac{1}{k}\\ &=f_{n-1}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}\\ &=f_{n-1}-\frac{1}{n}\left[(1-1)^n-1\right]\\ &=f_{n-1}+\frac{1}{n}\\ &=H_n \end {align *} ya que$f_1=1$.

Answer 3

Podemos usar expansión binomial. Considere la serie:

$ (\frac{1}{2})^{n-1}=(1-\frac{1}{2})^{n-1}=∑ ^n_{k=1} (-1)^{k-1}(\frac{1}{2})^{k-1}\binom{n}{k}$

Pero;..$∑ ^n_{k=1}\binom{n}{k}=(1+1)^{n-1}=2^{n-1} =∑ ^n_{k=1}2^{k-1}$

Por lo tanto, la multiplicación término por término de series en RHS y series$∑ ^n_{k=1} \frac{1}{n}$ es:

$ ∑ ^n_{k=1} (-1)^{k-1}(\frac{1}{2})^{k-1} . 2^{k-1}\frac{1}{n}\binom{n}{k}= ∑ ^n_{k=1} (-1)^{k-1}\frac{1}{n}\binom{n}{k}=2^n \times\frac{1}{2^n}∑ ^n_{k=1} \frac{1}{n}=∑ ^n_{k=1} \frac{1}{n}$