¿Gráfica de función convexa $f$ se encuentra por encima de la línea que pasa por el punto $(x, f(x))$?

Question

Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es convexo si $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \le \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$$whenever $x #

¿Si $f$ es convexo y $x \in \mathbb{R}$, no hay existe un número real $c$ tal que $f(y) \ge f(x) + c(y - x)$ % todo $y \in \mathbb{R}$?

Answer 1

la desigualdad es cierto incluso si $f$ no es diferenciable. Geométricamente, la desigualdad en la definición de la convexidad significa que si $P$, $Q$, y $R$ cualquier tres puntos en la gráfica de $f$$Q$$P$, e $R$, $Q$ está en o por debajo de la cuerda $PR$, o en términos de pistas \begin{equation} \text{slope }PQ\leq\text{slope }PR\leq\text{slope }QR, \label{1cvx slope inequality}% \end{equation} Ahora considerar cuatro puntos de $w<x<y<z$ $\mathbb{R}$ con, $P$, $Q$, $R$, $S$ el los puntos correspondientes en el gráfico de $f$. Por la anterior desigualdad \begin{equation} \text{slope }PQ\leq\text{slope }PR\leq\text{slope }QR\leq\text{slope }% QS\leq\text{slope }RS, \label{1cvx slope inequality two}% \end{equation} con estricto de las desigualdades si $f$ es estrictamente convexa. Como la pendiente $PR\leq$de pendiente $QR$, tenemos que la pendiente $QR$ aumenta a medida $x\nearrow y$, mientras que la pendiente $RS$ disminuye en la medida en $z\searrow y$. Por lo tanto el lado izquierdo de la desigualdad $$ \frac{f\left( x\right) -f\left y\right) }{x-y}\leq\frac{f\left( z\right) -f\left y\right) }{z-y}% $$ aumenta a medida que $x\nearrow y$ y el lado derecho disminuye a medida $z\searrow y$. Así que no existe la izquierda y la derecha derivados $f_{-}^{\prime}\left( y\right) \le f_{+}^{\prime}\left( y\right) $. Ahora tome $m\in\left[ f_{-}^{\prime}\left( y\right) ,f_{+}^{\prime}\left y\right) \right] $. Entonces $$m\leq f_{+}^{\prime}\left y\right) \leq\frac{f\left( x\right) -f\left y\right) }{x-y}\quad\text{si }x>y, $$ mientras $$\frac{f\left( x\right) -f\left y\right) }{x-y}\leq f_{-}^{\prime }\left( x_{0}\right) \leq m\quad\text{si }x<y. $$ Por lo tanto, $f\left( x\right) -f\left y\right) \geq m\left( x-y\right) $ for all $x$.