explica cómo resolver la ecuación.

Question

De la Olimpiada Matemática de Leningrado, 1975:

Resolver $x^2+2=4\sqrt{x^3+1}$.

En la hoja de respuestas sólo escrito $x=4+2\sqrt{3}\pm \sqrt{34+20\sqrt{3}}$.

¿Cómo resolver esto?

Answer 1

Que $u = x^2-x+1$, $v = x+1$ y $\lambda = \sqrt{\frac{u}{v}}$, tenemos

%#% $ De #% esto conduce a

$$\begin{align}u + v & = (x^2-x+1) + (x + 1) = x^2 + 2 \ &= 4\sqrt{x^3+1} = 4\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}\ &= 4\sqrt{uv}\end{align}$ $ Como resultado $$ \begin{align} &x^2 - x + 1 = \lambda^2 (x+1) = (7\color{red}{\pm} 4\sqrt{3})(x+1)\ \iff & x^2 - (8 \color{red}{\pm} 4\sqrt{3})x = (6\color{red}{\pm} 4\sqrt{3})\ \iff & (x - (4 \color{red}{\pm} 2\sqrt{3}))^2 = (4 \color{red}{\pm} 2\sqrt{3})^2 + (6 \color{red}{\pm} 4\sqrt{3}) = 34 \color{red}{\pm} 20\sqrt{3}\ \implies & x = 4 \color{red}{\pm} 2\sqrt{3} \color{blue}{\pm} \sqrt{34 \color{red}{\pm} 20\sqrt{3}} \end{Alinee el} $$ aviso $$\lambda^2 + 1 = 4\lambda \implies \lambda = 2 \color{red}{\pm} \sqrt{3}$. De verdad $34-20\sqrt{3} \approx -0.651

$\color{red}{\pm}$$

Answer 2

Creo que el "más rápido" manera de lidiar con esto es, seguramente, cuadrado ambos miembros, para obtener

$$x^4 -16x^3 +4x^2 - 12 = 0$$

Ahora usted puede tratar es como la ecuación de cuarto grado es, a través de Ferrari método para ecuaciones de cuarto grado.

Voy a escribir en el procedimiento general para el cuarto grado de la forma

$$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$$

Y te dejan con la fácil matemáticas detrás.

Definir las siguientes cantidades

$$P = 8ac - 3b^2$$

$$Q = b^3 + 8da - 4abc$$

$$R = c^2 - 3bd + 12 ae$$

$$S = 64a^3e - 16a^2c^2 + 16ab^2c - 16 a^2bd - 3b^4$$

Definir otros elementos

$$U = \frac{P}{8a^2}$$

$$V = \frac{Q}{8a^3}$$

$$Y = 2c^3 - 9bcd + 27b^2e - 27ad^2 - 27ace$$

$$Z = \sqrt[3]{\frac{Y + \sqrt{Y^2 - 4R^2}}{2}}$$

$$W = \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{2U}{3} + \frac{1}{3a} \left( Z + \frac{R}{Z}\right) }$$

Las Soluciones finales (nota: sólo dos de ellos serán reales, en su caso)

$$a_{1,\ 2} = -\frac{b}{4a} - W \pm \sqrt{-4W^2 - 2U + \frac{V}{W}}$$

$$a_{3,\ 4} = -\frac{b}{4a} + W \pm \sqrt{-4W^2 - 2U - \frac{V}{W}}$$

AVISO En su caso $\color{red}{d = 0}$, lo que simplifica un poco la resolvent.

Answer 3

PISTA.-la respuesta dada es la raíz de la ecuación cuadrática $$x^2-2(4+2\sqrt3)x+c=0$$ where $c$ es cierta constante. Sigue $$x=4+2\sqrt3\pm\sqrt{{(4+2\sqrt3)^2-c}}=4+2\sqrt3\pm\sqrt{34+20\sqrt3}$ $ se obtiene así el valor de $c$ de la cual se puede verificar la solución.