Cuál es la mejor manera de resolver esta integral:

Question

tiene este integral y buscando la manera de best\quickest solucionarlo:

$$\int_{-b}^bD\sin\left({\pi ny \over b}\right)\sin\left({\pi n'y \over b}\right)dy$$

Answer 1

$$\cos(a+b)=\cos(a) \cos(b)-\sin(a) \sin(b)$$ $$\cos(a-b)=\cos(a) \cos(b)+\sin(a) \sin(b)$$

De estas dos relaciones, obtenemos:

$$\sin(a) \sin(b)=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}$$

Answer 2

El uso de complejas funciones exponenciales: $2i \sin(x) = \exp(ix)-\exp(-ix)$. Deje $k=n\pi/b$$k'=n'\pi/b$, entonces podemos reescribir la integral como,

$$\frac{-D}{4} \int_{-b}^b dy (e^{iky}-e^{-iky})(e^{ik'y}-e^{-ik'y}),$$

a= \frac {D}{4} \int_{-b}^b dy (e^{i(k+k')y}-e^{-i(k-k' )y}+e^{i(k-k')y}-e^{-i(k+k' )y}), $$

a= \frac {D}{4} \left[ \frac{e^{i(k+k')y}}{i(k+k')}-\frac{e^{-i(k-k' )y}}{-i(k-k')}+\frac{e^{i(k-k')y}}{i(k-k')}-\frac{e^{-i(k+k')y}}{-i(k+k')} \right]_{b}^b, $$

a= \frac {D}{4} \left[ \frac{e^{i(k+k')y}+e^{-i(k+k')y}}{i(k+k')}+\frac{e^{-i(k-k' )y}+e^{i(k-k')y}}{i(k-k')}+\right]_{b}^b, $$

$$= \frac{-D}{4} \left[ \frac{2\cos((k+k')y)}{i(k+k')}+\frac{2\cos((k-k')y)}{i(k-k')}+\right]_{-b}^b,$$

$$= \frac{-D}{4} \left[ \frac{2\cos((k+k')b)-2\cos(-(k+k')b)}{i(k+k')} \\+\frac{2\cos((k-k')b)-2\cos(-(k-k')b)}{i(k-k')}+\right],$$

$$= 0.$$

Sin embargo, desde el anti-derivados utilizados anteriormente había una división por $k-k'$ debemos tratar el caso en que $k=k'$ por separado.