Ejemplo de una función que tiene la Luzin $n$ -y no es absolutamente continua.

Question

El teorema de Banach-Zaretsky ( página 196 ) dice que una función continua $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ de variación acotada es absolutamente continua si y sólo si

$$E\subset I \text{ has zero Lebesgue measure }\Rightarrow f(E) \text{ has zero Lebesgue measure }\;\;[\#]$$

Me gustaría ver un ejemplo de una función que satisfaga $[\#]$ pero no es absolutamente continua.

Gracias.

Answer 1

El teorema dice que la continuidad, la variación acotada (BV) y # (propiedad N) implican continuidad absoluta. Aquí se ve cómo falla si tenemos dos de las propiedades:

BV & Property N

Dejemos que $f(x) = \operatorname{sign} x$ . El rango es finito, por lo que $f(E)$ siempre tiene una medida de Lebesgue nula. Pero $f$ no es absolutamente continua.

Continuidad y propiedad N

Dejemos que $f(x) = x\sin (1/x)$ , $f(0)=0$ . Propiedad $N$ se deduce del hecho de que $f$ es localmente Lipschitz en $\mathbb{R} \setminus\{0\}$ . Pero $f$ no es BV, por lo que no es absolutamente continua.

Continuidad y BV

Dejemos que $f$ sea el Función Cantor .