Si no me equivoco, basta con la ARP o una teoría aún más débil para desarrollar la sintáctica de la lógica de primer orden (al menos para los lenguajes finitos o contables). Para desarrollar la semántica de la lógica de primer orden se suponen conjuntos. Me pregunto qué fragmento de ZFC es necesario para (1) desarrollar la semántica de la lógica de primer orden, (2) demostrar el teorema de completitud de la lógica de primer orden.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Muy poco.
En primer lugar, un fragmento importante del teorema de exhaustividad ni siquiera necesita conjuntos "grandes". Consideremos el "teorema de integridad contable":
$(*)$ Si $T$ es una teoría consistente en un lenguaje contable, entonces $T$ tiene un modelo contable.
Esto puede expresarse adecuadamente en el lenguaje de segundo orden $^*$ aritmética, y de hecho es bastante débil: sobre la teoría base RCA $_0$ que corresponde aproximadamente a la "matemática computable", el principio $(*)$ equivale a lema débil de Konig (wkl) - la afirmación de que todo árbol binario infinito tiene un camino infinito. Una dirección - demostrar $(*)$ de RCA $_0$ + wkl (este último sistema se denomina "WKL $_0$ "(nótese que "WKL" denota una teoría más fuerte, de ahí mi uso de "wkl" arriba) porque sobre RCA $_0$ el principio wkl nos permite demostrar (la forma apropiada de) el lema de Lindenbaum, y además la prueba habitual de Henkinización es totalmente efectiva.
¿Y qué hay del teorema de integridad más general?
Bueno, hay una división interesante: tenemos por un lado el "teorema de integridad bien ordenada"
$(**)$ Si $T$ es una teoría consistente en un lenguaje bien ordenable, entonces $T$ tiene un modelo bien ordenado,
y el teorema de integridad "completo"
$(***)$ Si $T$ es una teoría consistente, entonces $T$ tiene un modelo.
El principio $(***)$ es no es demostrable en ZF - requiere una pequeña elección (ver aquí ). El primer principio, sin embargo, es demostrable en ZF; mirando el argumento habitual de Henkinización, vemos que consiste en:
-
Pase de $T$ a una teoría completa y consistente $\hat{T}$ (lema de Lindenbaum).
-
Pase de $\hat{T}$ a una teoría completa y consistente más amplia $T^+$ en un lenguaje expandido, con la propiedad del testigo (Henkinización).
-
Argumentar que el modelo de término de $T^+$ es de hecho un modelo de $T^+$ y, por tanto, su reducción a nuestra lengua original es un modelo de $T$ .
No es difícil comprobar que esto pasa en la teoría KP + Inf (el axioma del infinito necesario para formar conjuntos de secuencias finitas). Esto no es óptimo, pero es una buena primera aproximación. Mientras tanto, por el mismo razonamiento KP + Inf + el teorema del buen orden demuestra $(***)$ .
Por cierto, se ha estudiado intensamente el desarrollo de la lógica dentro de KP + Inf y los fragmentos débiles relacionados de ZFC - Barwise tiene un excelente libro que trata estos temas (entre otros). Creo que es especialmente interesante la relación entre los fragmentos débiles de ZFC y la lógica más allá de Lógica de primer orden, específicamente (fragmentos de) lógica infinita $\mathcal{L}_{\infty\omega}$ - véase, por ejemplo, el Teorema de compacidad de Barwise .
Una obviedad menor: aunque se llama "segundo pedir aritmética", aquí todo es primero -orden en el sentido de la lógica subyacente. En mi opinión, la "aritmética de segundo orden" debería llamarse realmente " dos ordenados aritmética" (También estaría más contento con "análisis", que se ha utilizado así históricamente, pero no tan contento ya que tiene sus propias connotaciones) pero desgraciadamente el nombre se ha quedado.
