¿Hay un barrio de $(0,0,0)$ $V(x^2-y^3, y^2-z^3)$ que es isomorfo a un abierto subvariety de una curva del plano?
Respuesta
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No, eso no puede suceder. En primer lugar recordar que para cada plano de la curva de $C \subset \Bbb{P}^2_k$, y cada punto de $Q \in C$, el espacio cotangente $\mathfrak{m}_Q/\mathfrak{m}^2_Q$ $k$- espacio vectorial de dimensión en la mayoría de los dos.
Por otro lado, se puede demostrar que para $P=(0,0,0)$ el espacio cotangente $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}^2_P$ $V(x^2-y^3,y^2-z^3)$ $P$ es de tres dimensiones. De hecho, $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}^2_P$ es generado por los residuos $$ x,y,z \mod \mathfrak{m}^2_P $$ y se puede comprobar que estos elementos son linealmente independientes sobre $k$ (que a su vez esencialmente se reduce al hecho de que el ideal de $(x^2-y^3,y^2-z^3)$ no contiene lineal de polinomios).
Por lo tanto, el espacio cotangente de $V(x^2-y^3,y^2-z^3)$ $P=(0,0,0)$ no puede ser isomorfo al espacio cotangente de un plano de la curva, y por lo tanto un isomorfismo como se describe en la pregunta no puede existir.
