Inverso de $f(x)=3^x+2^x$

Question

Estoy tring para encontrar la inversa de $f(x)=3^x+2^x$ pero no tengo ninguna pista. He tratado de #% del %#% $ $$y=2^x((3/2)^x+1)$de #% $ $$\ln y=\ln2^x+\ln((3/2)^x+1)$$ pero no puedo continuar

Answer 1

No es sencilla la forma cerrada para la inversa.

Mirando un gráfico del logaritmo, $\ln(3^x+2^x)$, se obtiene una muy buena aproximación de la $x\ln(2)$ en los negativos, y $\ln(3)$ en los aspectos positivos, como un mandato rápidamente domina al otro (su ratio cae por debajo de $1\%$$|x|>12$).

Para las pequeñas $x$, puede utilizar el desarrollo de Taylor en un grado limitado

$$3^x+2^x\approx2+(\ln(3)+\ln(2))x+(\ln^2(3)+\ln^2(2))\frac{x^2}2+(\ln^3(3)+\ln^3(2))\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

y invertir el polinomio (factible, pero tedioso, hasta el grado cuatro; como es tan sólo una aproximación, uno puede preguntarse si vale la pena el esfuerzo.)

Dada la suavidad de la función, imagino que a la inversa cubic spline de interpolación en $\ln(3^x+2^x)$ puede hacer maravillas.