Seis x deben ser colocadas en los cuadrados de la figura adyacente, de modo que cada fila contenga al menos una x. Esto puede ser hecho en

Question

La pregunta es -

Seis x deben ser colocadas en los cuadrados de la figura adyacente, de manera que cada fila contenga al menos una x. ¿En cuántas formas se puede hacer esto?

Debido al límite en el número de x, encuentro esta pregunta muy difícil de resolver.

Intenté representar la figura como $$_,_|_,_,_,_|_,_$$

Y ya se han utilizado 3 x para cada fila y nos quedan otras 3 x más

pero no logro avanzar más. ¿Cómo abordar este tipo de problemas?

Answer 1

Solo la fila superior o inferior se pueden dejar en blanco en $1$ forma cada una,

por lo tanto, las formas con al menos una $x$ en cada fila = $\binom86 -2 = 26$

Answer 2

Observa que hay $8$ lugares para ser llenados, pero incluso si solo llenamos las filas, siempre quedarían $2$ lugares. Entonces, para organizar 6 letras entre 8 lugares, simplemente es ${8\choose 6}-2=26$. El $-2$ es porque dos de los lugares de arriba o de abajo nunca se llenarían sin importar cómo coloquemos las $x$. Espero que esté claro.

Answer 3

Vamos a contar los casos basados en cuántas celdas de la fila del medio están ocupadas

1. Todas las $4$ celdas. Luego te quedan $2$ $x$'s restantes y debes poner $1$ en la primera fila ($2$ opciones) y $1$ en la tercera fila (otras $2$ opciones). Entonces hay $$2\times 2=4$$ formas.
2. $3$ celdas. Puedes ocupar $3$ celdas de $\dbinom{4}{3}=4$ formas. Esto te deja con $3$ $x$'s más. Elige ahora una fila entre las filas $1$ y $3$ (hay $2$ maneras de hacerlo), coloca $2$ de los $x$'s en esa fila y coloca el último $x$ en la fila restante (hay $2$ celdas para elegir de). Entonces hay $$4\times 2 \times 2=16$$ formas.
3. $2$ celdas. Puedes ocupar $2$ celdas de $\dbinom{4}{2}=6$ formas. Esto te deja con $4$ $x$'s más y no queda otra opción que colocarlos en las celdas restantes. Así que hay $$6\times 1=6$$ formas.

Si ocupas menos de $2$ celdas en la fila del medio, entonces no hay suficiente espacio para los $x$'s restantes, así que eso fue todo. Sumando obtienes $$4+16+6=26$$ formas.

Answer 4

Si $n_i$ denota el número de x's en la fila $i$ disminuido en $1$ entonces $n_1+n_2+n_3=3$ donde $n_1, n_3\in\{0,1\}$ y $n_2\in\{0,1,2,3\}$. Discernir los siguientes casos:

• $0+3+0$ da $\binom21\binom44\binom21=4$ posibilidades.
• $1+2+0$ da $\binom22\binom43\binom21=8$ posibilidades.
• $0+2+1$ da $\binom21\binom43\binom20=8$ posibilidades.
• $1+1+1$ da $\binom22\binom42\binom22=6$ posibilidades.
  $4+8+8+6 =26$ posibilidades.

Answer 5

Si la fila inferior solo tiene una x a la izquierda, entonces hay 5 x adicionales para distribuir entre las dos filas superiores. Básicamente estamos eligiendo qué caja no tiene una x (ya que hay 6 cajas), y cualquier elección es válida, por lo que hay 6 opciones. El mismo conteo se aplica cuando la fila inferior solo tiene una x a la derecha. Ahora consideramos cuando ambas cajas inferiores tienen una x. Si la fila superior solo tiene una x a la izquierda, entonces quedan 3 x para ir a la fila del medio, por lo que hay 4 opciones posibles. Lo mismo se aplica si la fila superior solo tiene una x a la derecha. La última situación es cuando la fila superior está llena y hay 2 x para distribuir en la fila del medio. Hay 6, 4 elige 2, opciones posibles.

6 + 6 + 4 + 4 + 6 = 26.