Polos y Bode Parcelas

Question

Tengo tres preguntas que me han estado preocupante para un largo tiempo:

1. Podemos decir que, en las gráficas de Bode, hay una disminución en la ganancia de 20 dB por década, cuando un polo se encuentra. Pero no son polos definidos como los valores de \$s\$ que hacen la función de transferencia infinito? Así que ¿por qué no la ganancia de ir a este punto, en lugar de ir hacia abajo?

2. Físicamente lo que ocurre cuando se alimenta a un sistema con un poste de frecuencia?

3. También, considere la posibilidad de una función de transferencia \$1/(s+2)\$. El sistema tiene la pole en \$s=(-2+j0)\$. Es decir, para el polo, \$\sigma=-2\$\$\omega=0\$. Pero cuando se aplica una señal senoidal a la entrada y a dibujar las gráficas de Bode, ¿por qué decimos que hay un poste de 2 rad/seg (aunque, por el polo, \$\omega=0\$\$\sigma =-2\$)?

Answer 1

Gráficas de Bode no es un gráfico que representa gráficamente la función de transferencia (\$H(s)\$) en contra de \$s\$. \$H(s)\$ es una función compleja y su magnitud de la trama, de hecho, representa una superficie en el sistema de coordenadas Cartesianas. Y esta superficie tendrá picos de ir hasta el infinito en cada uno de los polos, como se muestra en la figura:

Gráficas de Bode es obtenido por primera sustituyendo \ $s= j\omega\$ \ $H(s)\$ y, a continuación, lo que representa en forma polar \$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)\$. \$H(\omega)\$ da la magnitud de bode de la trama y \$\phi(\omega)\$ da la fase de bode de la parcela.

Bode de magnitud de la trama es la aproximación asintótica de la magnitud de la función de transferencia (\$|H(\omega)|\$) vs logaritmo de la frecuencia en radianes/seg (\$\log_{10}|\omega|\$) con \$|H(s)|\$ (expresada en dB) en el eje de las y y \$\log_{10}|\omega|\$ en el eje x.

Llegando a las siguientes preguntas:

1. En los polos, el complejo de la superficie de \$|H(s)|\$ a los picos de infinito no \$|H(\omega)|\$.

2. Cuando un sistema es alimentado con el poste de la frecuencia, la copatrocinadoras de salida va a tener la misma frecuencia, pero la amplitud y la fase va a cambiar. El valor puede ser determinado mediante la sustitución de la frecuencia en radianes/seg en \ $|H(\omega)|\$ \ $\phi(\omega)\$ respectivamente.

3. Un poste de -2 rad/seg y 2 rad/seg tienen el mismo efecto en \$|H(\omega)|\$. Y nuestro interés es en la respuesta de frecuencia. Tan sólo necesitamos positiva de parte de ella.

Answer 2

Cuando se trata de comprender las funciones de transferencia, creo que la "goma de la hoja de la analogía" es muy útil. Imaginar una goma elástica-panel que cubre el complejo \$s\$-plano, e imaginar que en cada cero de la función de transferencia de la hoja se fija a la tierra, y en cada poste hay un literal poste fino empujando la goma de la hoja. La magnitud de la respuesta en frecuencia es la altura de la goma de la hoja a lo largo de la \$j\omega\$-eje.

1. A partir de la anterior analogía, por supuesto, la ganancia va hacia el polo. Pero alejarse de la pole, la contribución de la pole hace la función de transferencia de ir hacia abajo, por ejemplo, ir hacia el próximo cero). Imagine el sistema simple que dio como ejemplo en su tercera pregunta. Tiene un valor real de polo en \$s_{\infty}=-2\$, y - debido a este polo - que también tiene un cero en el lugar de \$s_0=\infty\$. Por lo que se mueve lejos del poste con el aumento de la frecuencia, la función de transferencia que va hacia abajo, porque la goma de la hoja se fija a la tierra en el infinito. Matemáticamente, esto también es fácil de ver: $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ En decibelios tenemos $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ Para \$\omega\gg 2\$ el segundo término en el lado derecho de (1) se puede aproximar por $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ que es una línea recta con una pendiente de \$-20\,\text{dB}\$ por década.

2. Cuando se excita un sistema con una señal correspondiente a uno de sus polos, luego esta señal de entrada se "amplifica" en comparación con las señales de entrada con otras frecuencias. Nota, sin embargo, que para un sistema estable de la señal de salida será siempre la caries. E. g. si usted excitar el sistema con función de transferencia \$H(s)=\frac{1}{s+2}\$ con una señal de entrada \$x(t)=e^{-2t}\$, entonces la salida será \$y(t)=te^{-2t}\$, donde el factor \$t\$ corresponde al sistema de "amplificación" de la señal de entrada. Sin embargo, el factor exponencial hará la señal de enfoque \$0\$ para valores grandes de \$t\$.

3. En definitiva, no podemos decir que hay un poste de \$2\$ rad/s, porque no la hay. Lo que es de hecho el caso es que la frecuencia de corte se determina por la parte real de los polos, es decir, el punto de partida de la línea con pendiente negativa en las gráficas de Bode es determinado por el valor de \$2\$. Este es el ejemplo que les he dado en el punto 1 arriba, de donde la línea recta de aproximación con \$-20\$ dB por década es válido para \$\omega\gg 2\$. El valor de \$2\$ no está determinado por el polo de la frecuencia (que es cero), pero por la parte real de los polos.

Answer 3

El gráfico muestra la diferencia entre la frecuencia natural en el complejo \$s\$-plano (infinito) y de la correspondiente magnitud pico a lo largo de la \$j\omega\$ eje, que puede ser observada en las mediciones: El gráfico pertenece a una frecuencia natural de \$\omega_p=1000\$ rad/s y un polo factor de calidad \$Q_p=1.3\$ (que es una medida de la observables ganancia de pico). Este diagrama permite visualizar un 2º-el fin de Chebyshev de las características de los 3 dB de rizado en la banda pasante.

Answer 4

La "s" en las ecuaciones es la constante en la función exp(s*t). Por ello, cuando s es un número real, esta vez de la función es un crecimiento exponencial o la caída de la función. Su ejemplo con s=-2 es una exponencialmente la caída de la función. Para cualquier polo "número", la salida va a crecer cuando se aplica una entrada en la que "el número". Si se aplica una exponencialmente descendente de la señal a su ejemplo de circuito, la señal de salida va a ir hasta el infinito. (Tenga en cuenta, sin embargo, que no es posible generar una señal de que está siempre de manera exponencial caída, porque la señal es muy grande, a veces en el pasado). Cuando se habla de frecuencias igual a 2 radianes/seg, de la que están hablando de polos en j*2, no 2, por lo que son esas señales sinusoidales. Es posible generar las señales que son ondas sinusoidales (al menos por un tiempo bastante largo). Usted obtener infinitos si aplicar esta señal de onda sinusoidal a un sistema con un poste de +-j*2, pero no se si aplica a un sistema con un poste de -2.