¿Acertijo de suma infinita: $S_1 = 1 + 2 + \ldots$, $S_2 = \frac{1}{2} + 1 + 2 + \ldots$, $S_1-S_2$ finito o infinito?

Question

$$S_1 = 1 + 2 + 3 + \ldots$$

$$S_2 = \frac{1}{2} + 1 + 2 + 3 + \ldots$$

Ahora del caso 1:

$$\left.\Delta S = S_1 - S_2 = \frac{1}{2}\,\right}\text{finite value}$$

Caso 2:

$$\Delta S = S_1 - S2 = \frac{1}{2} + \underbrace{(1 + 1 + 1 + \ldots)}{\infty\text{ value!}}$$

En un caso, veo una diferencia finita mientras que en el otro, un infinito. ¿Por lo tanto, que uno es correcto y por qué?

Answer 1

Si $\lim_{n \to \infty}un$ y $\lim{n \to \infty}v_n$ existen y son finitos entonces

$$ \lim_{n \to \infty}(v_n-un) = \lim {\to \infty}vn-\lim{n \to \infty}u_n. n \tag1 $$

Parece que han aplicado $(1)$ a $ u_n = 1 +2 + \cdots + n, \quad vn = \frac12 +1 +2 + \cdots + n $$ que no justifica desde $ \lim{n \to \infty}un=\infty,\qquad \lim{n \to \infty}v_n=\infty. $$