¿Cómo obtener una expresión aproximada para$\sqrt{\varepsilon}$ donde$\varepsilon \ll 1$?

Question

Hay una manera de obtener una expresión aproximada para la raíz cuadrada $\sqrt{\varepsilon}$ de un pequeño número de $\varepsilon \ll 1$?

Para ser más precisos, me gustaría tener una expresión (1) puede manejar fácilmente por un cálculo mental y (2) no se trata de una raíz cuadrada. Por supuesto, que fácilmente se puede calcular el $\sqrt{0.01}$ pero tengo que admitir que yo tendría que pensar un poco más difícil para $\sqrt{0.001}$.

Que suelen utilizar en series de Taylor de las expansiones para calcular los resultados aproximados para expresiones como $(1+\varepsilon)^\alpha \approx 1 + \alpha \varepsilon$, pero este enfoque obviamente falla aquí desde $\sqrt{\varepsilon}$ no es analítica para $\varepsilon = 0$.

Answer 1

Escribir $\varepsilon$ como el producto de la $a$$10^{-n}$, donde n es un número par. Para un simple mental aproximación de su raíz cuadrada, tome $b$ a ser un conocido de la plaza cerca de la $a$ y evaluar:

$$\sqrt{\varepsilon}\approx\left(\sqrt{b}+{{a-b} \over 2 \sqrt{b}}\right)10^{-n/2}$$

Ejemplo: $$\sqrt{0.17}=\sqrt{17*10^{-2}}\approx\left(\sqrt{16}+{{17-16} \over 2 \sqrt{16}}\right)10^{-1}={33\over8}10^{-1}=0.4125$$

Que es una aproximación bastante precisa de $\sqrt{0.17}=0.412311...$ El error en el uso de este método se muestra a continuación.

Sí, que técnicamente implica raíces cuadradas, pero si mentalmente puede calcular la raíz cuadrada de 0.01, me tome la raíz cuadrada de 16 de fronteras sobre la aceptabilidad.

Answer 2

Si el objetivo no es tener un proceso mental, sino más bien a la aproximación de $\sqrt{\varepsilon}$ puramente en términos de funciones simples, hay varias maneras de ir sobre él. Como usted ha señalado, no hay expansión en series de Taylor alrededor de $\varepsilon=0$; pero si sabes que $0<\varepsilon\le 1$, dicen, claro que puedes usar la expansión en series de Taylor alrededor de $\varepsilon = 1$ o $\varepsilon = 1/2$, ya sea de los que van a converger.

Una alternativa es el uso de las sucesivas recorre generado por el método de Newton aplicado a $f(x)=x^2-\varepsilon.$ mientras se inicia con $x_0 \ge \sqrt{\varepsilon}$ (por ejemplo, tome $x_0=\max(1,\varepsilon)$), luego estos se itera convergerán monótonamente desde arriba. La iteración se define por $$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n} + \frac{\varepsilon}{x_{n}}\right).$$ Así que su primera aproximación (asumiendo $\varepsilon < 1$ por simplicidad) es $$ x_1 = \frac{1 + \varepsilon}{2}; $$ el segundo es $$ x_2 = \frac{1}{2}\left(x_1 + \frac{\varepsilon}{x_1}\right)=\frac{1+\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon};$$ la tercera es $$ x_3 = \frac{1}{2}\left(x_2 + \frac{\varepsilon}{x_2}\right)=\frac{1+\varepsilon}{8}+\frac{\varepsilon}{2(1+\varepsilon)}+\frac{2\varepsilon(1+\varepsilon)}{(1+\varepsilon)^2+ 4\varepsilon}; $$ y así sucesivamente. Como se ve en la figura a continuación, estos recorre convergen con bastante rapidez, con más reacios convergencia cerca de $\varepsilon=0$.